1. **Énoncé du problème :** Nous devons trigonaliser la matrice $A = \begin{pmatrix} 1 & 4 & -2 \\ 0 & 6 & -3 \\ -1 & 4 & 0 \end{pmatrix}$. 2. **Définition et méthode :** Trigonaliser une matrice consiste à trouver une matrice triangulaire similaire à $A$, c'est-à-dire trouver une matrice $P$ inversible telle que $P^{-1}AP$ soit triangulaire supérieure. 3. **Calcul des valeurs propres :** On calcule le polynôme caractéristique $\chi_A(\lambda) = \det(A - \lambda I)$. $$A - \lambda I = \begin{pmatrix} 1-\lambda & 4 & -2 \\ 0 & 6-\lambda & -3 \\ -1 & 4 & -\lambda \end{pmatrix}$$ Calcul du déterminant : $$\det(A - \lambda I) = (1-\lambda) \begin{vmatrix} 6-\lambda & -3 \\ 4 & -\lambda \end{vmatrix} - 4 \begin{vmatrix} 0 & -3 \\ -1 & -\lambda \end{vmatrix} - 2 \begin{vmatrix} 0 & 6-\lambda \\ -1 & 4 \end{vmatrix}$$ Calculons chaque mineur : - $\begin{vmatrix} 6-\lambda & -3 \\ 4 & -\lambda \end{vmatrix} = (6-\lambda)(-\lambda) - (-3)(4) = -6\lambda + \lambda^2 + 12 = \lambda^2 - 6\lambda + 12$ - $\begin{vmatrix} 0 & -3 \\ -1 & -\lambda \end{vmatrix} = 0 \times (-\lambda) - (-3)(-1) = -3$ - $\begin{vmatrix} 0 & 6-\lambda \\ -1 & 4 \end{vmatrix} = 0 \times 4 - (6-\lambda)(-1) = 6 - \lambda$ Donc : $$\det(A - \lambda I) = (1-\lambda)(\lambda^2 - 6\lambda + 12) - 4(-3) - 2(6 - \lambda)$$ Simplifions : $$= (1-\lambda)(\lambda^2 - 6\lambda + 12) + 12 - 12 + 2\lambda = (1-\lambda)(\lambda^2 - 6\lambda + 12) + 2\lambda$$ Développons $(1-\lambda)(\lambda^2 - 6\lambda + 12)$ : $$= \lambda^2 - 6\lambda + 12 - \lambda^3 + 6\lambda^2 - 12\lambda = -\lambda^3 + 7\lambda^2 - 18\lambda + 12$$ Donc : $$\det(A - \lambda I) = -\lambda^3 + 7\lambda^2 - 18\lambda + 12 + 2\lambda = -\lambda^3 + 7\lambda^2 - 16\lambda + 12$$ 4. **Trouver les racines du polynôme caractéristique :** $$-\lambda^3 + 7\lambda^2 - 16\lambda + 12 = 0$$ On peut multiplier par $-1$ pour simplifier : $$\lambda^3 - 7\lambda^2 + 16\lambda - 12 = 0$$ Testons les racines rationnelles possibles parmi $\pm1, \pm2, \pm3, \pm4, \pm6, \pm12$ : - Pour $\lambda=1$ : $1 - 7 + 16 - 12 = -2 \neq 0$ - Pour $\lambda=2$ : $8 - 28 + 32 - 12 = 0$ donc $\lambda=2$ est une racine. 5. **Division polynomiale :** Divisons $\lambda^3 - 7\lambda^2 + 16\lambda - 12$ par $(\lambda - 2)$ : Le quotient est $\lambda^2 - 5\lambda + 6$. 6. **Factorisation complète :** $$\lambda^3 - 7\lambda^2 + 16\lambda - 12 = (\lambda - 2)(\lambda^2 - 5\lambda + 6)$$ Factorisons $\lambda^2 - 5\lambda + 6$ : $$(\lambda - 2)(\lambda - 3)$$ Donc les valeurs propres sont : $$\lambda_1 = 2, \quad \lambda_2 = 2, \quad \lambda_3 = 3$$ 7. **Conclusion :** La matrice $A$ a pour valeurs propres $2$ (de multiplicité 2) et $3$. 8. **Trigonalisation :** Puisque le polynôme caractéristique se décompose en facteurs linéaires, $A$ est trigonalizable. On peut trouver une base adaptée pour écrire $A$ sous forme triangulaire supérieure avec ces valeurs propres sur la diagonale. **Réponse finale :** La matrice $A$ est trigonalizable avec valeurs propres $2$ (double) et $3$.