1. **Énoncé du problème :** Trouver les valeurs propres de l'endomorphisme $f$ de $\mathbb{R}^3$ dont la matrice dans la base canonique est $$M=\begin{pmatrix}1 & 0 & 1 \\ -1 & 2 & 1 \\ 2 - m & m - 2 & m \end{pmatrix}$$ avec $m \in \mathbb{R}$. 2. **Formule utilisée :** Les valeurs propres $\lambda$ d'une matrice $M$ sont les solutions de l'équation caractéristique $$\det(M - \lambda I) = 0$$ avec $I$ la matrice identité. 3. **Calcul du polynôme caractéristique :** $$M - \lambda I = \begin{pmatrix}1 - \lambda & 0 & 1 \\ -1 & 2 - \lambda & 1 \\ 2 - m & m - 2 & m - \lambda \end{pmatrix}$$ Calculons le déterminant : $$\det(M - \lambda I) = (1 - \lambda) \begin{vmatrix}2 - \lambda & 1 \\ m - 2 & m - \lambda \end{vmatrix} - 0 + 1 \begin{vmatrix}-1 & 2 - \lambda \\ 2 - m & m - 2 \end{vmatrix}$$ Calcul des mineurs : $$\begin{vmatrix}2 - \lambda & 1 \\ m - 2 & m - \lambda \end{vmatrix} = (2 - \lambda)(m - \lambda) - 1(m - 2)$$ $$= (2 - \lambda)(m - \lambda) - (m - 2)$$ $$\begin{vmatrix}-1 & 2 - \lambda \\ 2 - m & m - 2 \end{vmatrix} = (-1)(m - 2) - (2 - \lambda)(2 - m)$$ $$= -(m - 2) - (2 - \lambda)(2 - m)$$ Donc : $$\det(M - \lambda I) = (1 - \lambda)[(2 - \lambda)(m - \lambda) - (m - 2)] + 1[-(m - 2) - (2 - \lambda)(2 - m)]$$ 4. **Simplification :** Développons : $$(2 - \lambda)(m - \lambda) = 2m - 2\lambda - m\lambda + \lambda^2$$ Donc : $$[(2 - \lambda)(m - \lambda) - (m - 2)] = 2m - 2\lambda - m\lambda + \lambda^2 - m + 2 = (m + 2) - 2\lambda - m\lambda + \lambda^2$$ Le déterminant devient : $$ (1 - \lambda)[(m + 2) - 2\lambda - m\lambda + \lambda^2] - (m - 2) - (2 - \lambda)(2 - m)$$ Calculons $(2 - \lambda)(2 - m)$ : $$= 4 - 2m - 2\lambda + m\lambda$$ Donc : $$\det(M - \lambda I) = (1 - \lambda)(m + 2 - 2\lambda - m\lambda + \lambda^2) - (m - 2) - (4 - 2m - 2\lambda + m\lambda)$$ Simplifions la partie soustraite : $$-(m - 2) - (4 - 2m - 2\lambda + m\lambda) = -m + 2 - 4 + 2m + 2\lambda - m\lambda = ( -m + 2m ) + (2 - 4) + 2\lambda - m\lambda = m - 2 + 2\lambda - m\lambda$$ Donc : $$\det(M - \lambda I) = (1 - \lambda)(m + 2 - 2\lambda - m\lambda + \lambda^2) + m - 2 + 2\lambda - m\lambda$$ 5. **Développement complet :** $$ (1 - \lambda)(m + 2 - 2\lambda - m\lambda + \lambda^2) = (1)(m + 2 - 2\lambda - m\lambda + \lambda^2) - \lambda(m + 2 - 2\lambda - m\lambda + \lambda^2)$$ $$= m + 2 - 2\lambda - m\lambda + \lambda^2 - \lambda m - 2\lambda + 2\lambda^2 + m\lambda^2 - \lambda^3$$ Regroupons les termes : - Constantes : $m + 2$ - $\lambda$ : $-2\lambda - m\lambda - \lambda m - 2\lambda = -2\lambda - 2m\lambda - 2\lambda = -4\lambda - 2m\lambda$ - $\lambda^2$ : $\lambda^2 + 2\lambda^2 + m\lambda^2 = (1 + 2 + m)\lambda^2 = (3 + m)\lambda^2$ - $\lambda^3$ : $-\lambda^3$ Donc : $$ (1 - \lambda)(...) = m + 2 - (4 + 2m)\lambda + (3 + m)\lambda^2 - \lambda^3$$ Ajoutons la partie $+ m - 2 + 2\lambda - m\lambda$ : $$\det(M - \lambda I) = m + 2 - (4 + 2m)\lambda + (3 + m)\lambda^2 - \lambda^3 + m - 2 + 2\lambda - m\lambda$$ Simplifions les constantes : $$m + 2 + m - 2 = 2m$$ Simplifions les termes en $\lambda$ : $$-(4 + 2m)\lambda + 2\lambda - m\lambda = (-4 - 2m + 2 - m)\lambda = (-2 - 3m)\lambda$$ Donc le polynôme caractéristique est : $$\det(M - \lambda I) = 2m + (-2 - 3m)\lambda + (3 + m)\lambda^2 - \lambda^3$$ 6. **Réécriture finale :** $$-\lambda^3 + (3 + m)\lambda^2 + (-2 - 3m)\lambda + 2m = 0$$ ou $$\lambda^3 - (3 + m)\lambda^2 + (2 + 3m)\lambda - 2m = 0$$ 7. **Conclusion :** Les valeurs propres de $f$ sont les racines du polynôme $$\lambda^3 - (3 + m)\lambda^2 + (2 + 3m)\lambda - 2m = 0$$ --- **Réponse finale :** Les valeurs propres de $f$ sont les solutions de $$\boxed{\lambda^3 - (3 + m)\lambda^2 + (2 + 3m)\lambda - 2m = 0}$$