1. **Énoncé du problème :** Nous avons un parallélogramme ABCD de centre O avec deux points P et Q tels que $$\overrightarrow{AP} + \overrightarrow{AQ} = \overrightarrow{AB}$$ $$\overrightarrow{AP} - \overrightarrow{AQ} = \overrightarrow{AC}$$ On doit trouver les vecteurs $\overrightarrow{AP}$ et $\overrightarrow{AQ}$. Ensuite, résoudre l'inéquation $$f(x) < -2x + 5$$ avec $$f(x) = \frac{2x^2 - 7x + 2}{1 - x}$$ Enfin, calculer $$g^{-1}(1)$$ avec $$g : ]-\infty;5] \to [0; +\infty[, \quad g(x) = \sqrt{5 - x}$$. 2. **Trouver $\overrightarrow{AP}$ et $\overrightarrow{AQ}$ :** On pose $\overrightarrow{AP} = \vec{p}$ et $\overrightarrow{AQ} = \vec{q}$. On a le système : $$\vec{p} + \vec{q} = \overrightarrow{AB}$$ $$\vec{p} - \vec{q} = \overrightarrow{AC}$$ En additionnant les deux équations : $$2\vec{p} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC} \implies \vec{p} = \frac{\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC}}{2}$$ En soustrayant la deuxième de la première : $$2\vec{q} = \overrightarrow{AB} - \overrightarrow{AC} \implies \vec{q} = \frac{\overrightarrow{AB} - \overrightarrow{AC}}{2}$$ Donc : $$\boxed{\overrightarrow{AP} = \frac{\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC}}{2}, \quad \overrightarrow{AQ} = \frac{\overrightarrow{AB} - \overrightarrow{AC}}{2}}$$ 3. **Résolution de l'inéquation** On doit résoudre : $$f(x) < -2x + 5$$ avec $$f(x) = \frac{2x^2 - 7x + 2}{1 - x}$$ On écrit l'inéquation : $$\frac{2x^2 - 7x + 2}{1 - x} < -2x + 5$$ Mettons tout d'un côté : $$\frac{2x^2 - 7x + 2}{1 - x} + 2x - 5 < 0$$ Mettons au même dénominateur : $$\frac{2x^2 - 7x + 2}{1 - x} + \frac{(2x - 5)(1 - x)}{1 - x} < 0$$ Calculons le numérateur : $$(2x - 5)(1 - x) = 2x - 2x^2 - 5 + 5x = -2x^2 + 7x - 5$$ Donc : $$\frac{2x^2 - 7x + 2 - 2x^2 + 7x - 5}{1 - x} < 0$$ Simplifions le numérateur : $$2x^2 - 7x + 2 - 2x^2 + 7x - 5 = 2 - 5 = -3$$ L'inéquation devient : $$\frac{-3}{1 - x} < 0$$ Le numérateur est constant négatif (-3). Pour que la fraction soit négative, le dénominateur doit être positif : $$1 - x > 0 \implies x < 1$$ Donc l'ensemble solution est : $$\boxed{]-\infty, 1[}$$ 4. **Calcul de $g^{-1}(1)$** La fonction $g$ est définie par : $$g(x) = \sqrt{5 - x}$$ On cherche $x$ tel que : $$g(x) = 1$$ Donc : $$\sqrt{5 - x} = 1 \implies 5 - x = 1^2 = 1 \implies x = 5 - 1 = 4$$ Vérifions que $x=4$ est dans le domaine de $g$ : $$4 \leq 5$$ Donc : $$\boxed{g^{-1}(1) = 4}$$