1. Énoncé du problème : Je considère la fonction $g:\mathbb{R}\setminus\{-1\}\to\mathbb{R}\setminus\{1\}$ définie par $g(x)=\frac{x-1}{x+1}$. 2. Rappel et règle pour dire qu'une application est bien définie : Une application associe à chaque élément du domaine un unique élément de l'image. Il faut vérifier que l'expression $\frac{x-1}{x+1}$ est bien définie pour tout $x$ du domaine et donne une valeur unique. 3. Justification que $g$ est une application : Pour tout $x\in\mathbb{R}\setminus\{-1\}$, le dénominateur $x+1\neq0$ donc $g(x)$ est bien défini. La formule fournit une image unique pour chaque $x$ donc $g$ est une application. 4. Démonstration que $g$ est injective : Supposons $g(x_1)=g(x_2)$ pour $x_1,x_2\in\mathbb{R}\setminus\{-1\}$. Alors $\frac{x_1-1}{x_1+1}=\frac{x_2-1}{x_2+1}$. En multipliant en croix on obtient $(x_1-1)(x_2+1)=(x_2-1)(x_1+1)$. En développant et simplifiant on trouve $2x_1-2x_2=0$. Donc $$2(x_1-x_2)=0$$ En annulant le facteur constant on a $$\cancel{2}(x_1-x_2)=0$$ D'où $x_1-x_2=0$ et donc $x_1=x_2$. Ainsi $g$ est injective. 5. Démonstration que $g$ est surjective : Soit $y\in\mathbb{R}\setminus\{1\}$ un réel quelconque de l'image désirée. Cherchons $x$ tel que $y=\frac{x-1}{x+1}$. On résout $y(x+1)=x-1$ ce qui donne $yx+y=x-1$. En regroupant les termes en $x$ on obtient $x(y-1)=-(1+y)$. Donc $$x=\frac{-(1+y)}{y-1}$$ On peut multiplier numérateur et dénominateur par $-1$ et simplifier, en affichant la simplification : $$x=\frac{(-1)(1+y)}{(-1)(1-y)}=\frac{\cancel{(-1)}(1+y)}{\cancel{(-1)}(1-y)}=\frac{1+y}{1-y}.$$ Cette valeur de $x$ appartient bien à $\mathbb{R}\setminus\{-1\}$ car si $x=-1$ alors $y$ serait $1$, ce qui est exclu. Ainsi pour tout $y$ il existe $x$ tel que $g(x)=y$, donc $g$ est surjective. 6. Conclusion sur la bijectivité et bijection réciproque : Comme $g$ est injective et surjective, $g$ est bijective. La bijection réciproque $g^{-1}:\mathbb{R}\setminus\{1\}\to\mathbb{R}\setminus\{-1\}$ est donnée par $$g^{-1}(y)=\frac{1+y}{1-y}.$$ On peut vérifier rapidement que $g(g^{-1}(y))=y$ et $g^{-1}(g(x))=x$ pour les valeurs autorisées. 7. Détermination du nombre de gibiers à rapporter : Si le contexte est que chaque chasseur correspond à un élément du domaine et chaque gibier à son image par $g$, alors l'application bijective implique une correspondance un à un. Par conséquent, le nombre de gibiers rapportés est égal au nombre de chasseurs. Autrement dit, s'il y a $n$ chasseurs, le nombre de gibiers est $n$. 8. Réponse finale : 7) $g$ est une application car pour tout $x$ du domaine l'expression donne une image unique. 8) $g$ est bijective et $g^{-1}(y)=\frac{1+y}{1-y}$. 9) Le nombre de gibiers rapportés est égal au nombre de chasseurs, donc $n$ si on note $n$ le nombre de chasseurs.