1. **Énoncé du problème :** Nous devons déterminer quelle fonction parmi $f_1(x) = \frac{x+3}{x^2+5}$, $f_2(x) = \frac{x+3}{x-2}$, $f_3(x) = \frac{x^2}{x-2}$, et $f_4(x) = \frac{x^2+1}{x^2-2}$ correspond au graphe donné. 2. **Analyse des asymptotes verticales :** Une asymptote verticale se produit là où le dénominateur est nul et le numérateur non nul. - Pour $f_1$, le dénominateur est $x^2+5$, qui n'est jamais nul (car $x^2+5>0$ pour tout $x$), donc pas d'asymptote verticale. - Pour $f_2$, le dénominateur est $x-2$, nul en $x=2$, donc asymptote verticale en $x=2$. - Pour $f_3$, le dénominateur est $x-2$, donc asymptote verticale en $x=2$. - Pour $f_4$, le dénominateur est $x^2-2$, nul en $x=\pm \sqrt{2}$, donc asymptotes verticales en $x=\pm \sqrt{2}$, pas en $x=2$. 3. **Analyse des asymptotes horizontales :** L'asymptote horizontale correspond à la limite de la fonction quand $x \to \pm \infty$. - Pour $f_1$, degré numérateur = 1, degré dénominateur = 2, donc asymptote horizontale $y=0$. - Pour $f_2$, degré numérateur = 1, degré dénominateur = 1, asymptote horizontale $y=\frac{1}{1}=1$ (rapport des coefficients dominants). - Pour $f_3$, degré numérateur = 2, degré dénominateur = 1, pas d'asymptote horizontale, mais une asymptote oblique. - Pour $f_4$, degré numérateur = 2, degré dénominateur = 2, asymptote horizontale $y=\frac{1}{1}=1$. 4. **Analyse du comportement près de l'asymptote verticale $x=2$ :** Le graphe a une asymptote verticale en $x=2$ avec la branche gauche tendant vers $-\infty$ et la branche droite vers $+\infty$. - Pour $f_2(x) = \frac{x+3}{x-2}$, calculons les limites : $$\lim_{x \to 2^-} f_2(x) = \lim_{x \to 2^-} \frac{x+3}{x-2} = \frac{5}{0^-} = -\infty$$ $$\lim_{x \to 2^+} f_2(x) = \lim_{x \to 2^+} \frac{x+3}{x-2} = \frac{5}{0^+} = +\infty$$ Ce comportement correspond exactement à celui décrit. - Pour $f_3(x) = \frac{x^2}{x-2}$, calculons : $$\lim_{x \to 2^-} f_3(x) = \frac{4}{0^-} = -\infty$$ $$\lim_{x \to 2^+} f_3(x) = \frac{4}{0^+} = +\infty$$ Le comportement est similaire, mais l'asymptote horizontale n'est pas $y=1$. 5. **Conclusion :** Le graphe a une asymptote verticale en $x=2$ et une asymptote horizontale en $y=1$. - $f_2$ a ces deux asymptotes et le comportement correct près de $x=2$. - $f_3$ a l'asymptote verticale correcte mais pas l'asymptote horizontale. - $f_1$ et $f_4$ n'ont pas d'asymptote verticale en $x=2$. **Donc, la fonction correspondante est $f_2(x) = \frac{x+3}{x-2}$.