1. **Énoncé du problème :** Comparer $2\sqrt{5}$ et $3\sqrt{2}$, puis en déduire la comparaison de $2\sqrt{5} + 3$ et $3\sqrt{2} + 3$, comparer $\frac{1}{2\sqrt{5}}$ et $\frac{1}{3\sqrt{2}}$, et enfin comparer $2\sqrt{5}$ et $3\sqrt{2}$. 2. **Formule et règles importantes :** Pour comparer des nombres irrationnels, on peut comparer leurs carrés car la fonction $f(x) = x^2$ est strictement croissante pour $x > 0$. 3. **Calculs intermédiaires :** - Comparons $2\sqrt{5}$ et $3\sqrt{2}$ en élevant au carré : $$ (2\sqrt{5})^2 = 4 \times 5 = 20 $$ $$ (3\sqrt{2})^2 = 9 \times 2 = 18 $$ Comme $20 > 18$, on a $2\sqrt{5} > 3\sqrt{2}$. - En ajoutant 3 des deux côtés, on obtient : $$ 2\sqrt{5} + 3 > 3\sqrt{2} + 3 $$ - Comparons maintenant $\frac{1}{2\sqrt{5}}$ et $\frac{1}{3\sqrt{2}}$ : Puisque $2\sqrt{5} > 3\sqrt{2}$, alors $\frac{1}{2\sqrt{5}} < \frac{1}{3\sqrt{2}}$ car la fonction $f(x) = \frac{1}{x}$ est décroissante pour $x > 0$. - La dernière comparaison $2\sqrt{5}$ et $3\sqrt{2}$ est déjà faite : $2\sqrt{5} > 3\sqrt{2}$. **Réponse finale :** $$ 2\sqrt{5} > 3\sqrt{2} $$ $$ 2\sqrt{5} + 3 > 3\sqrt{2} + 3 $$ $$ \frac{1}{2\sqrt{5}} < \frac{1}{3\sqrt{2}} $$