1. Énonçons le problème : tracer la courbe de la fonction $$y=\frac{1}{2}(1+x)^2$$. 2. La formule utilisée est celle d'une fonction quadratique sous forme développée. Ici, la fonction est donnée sous forme factorisée. 3. Développons la fonction pour mieux comprendre sa forme : $$y=\frac{1}{2}(1+x)^2=\frac{1}{2}(1+2x+x^2)=\frac{1}{2}+x+\frac{x^2}{2}$$ 4. Cette fonction est une parabole qui s'ouvre vers le haut car le coefficient de $x^2$ est positif ($\frac{1}{2}>0$). 5. Trouvons le sommet de la parabole. La forme développée est : $$y=\frac{1}{2}x^2 + x + \frac{1}{2}$$ Le sommet d'une parabole $ax^2+bx+c$ est en $x=-\frac{b}{2a}$. Ici, $a=\frac{1}{2}$, $b=1$, donc : $$x=-\frac{1}{2 \times \frac{1}{2}}=-1$$ 6. Calculons $y$ au sommet : $$y=\frac{1}{2}(-1)^2 + (-1) + \frac{1}{2} = \frac{1}{2} -1 + \frac{1}{2} = 0$$ 7. Le sommet est donc au point $(-1,0)$. 8. Trouvons les intercepts : - Intercept en $y$ quand $x=0$ : $$y=\frac{1}{2}(1+0)^2=\frac{1}{2}$$ - Intercept en $x$ quand $y=0$ : $$0=\frac{1}{2}(1+x)^2 \Rightarrow (1+x)^2=0 \Rightarrow x=-1$$ 9. Résumé : la parabole a un sommet en $(-1,0)$, passe par $(0,\frac{1}{2})$, et s'ouvre vers le haut. 10. Pour tracer la courbe, on peut utiliser la fonction telle quelle : $$y=\frac{1}{2}(1+x)^2$$