1. **Énoncé du problème 1** : Résoudre l'équation $8x + 1 |18x + 11| = 3x + 9$. 2. **Méthode** : On doit traiter la valeur absolue $|18x + 11|$ en considérant deux cas : - Cas 1 : $18x + 11 \geq 0 \Rightarrow |18x + 11| = 18x + 11$ - Cas 2 : $18x + 11 < 0 \Rightarrow |18x + 11| = -(18x + 11)$ 3. **Cas 1** : $$8x + 1 (18x + 11) = 3x + 9$$ Simplifions : $$8x + 18x + 11 = 3x + 9$$ $$26x + 11 = 3x + 9$$ Soustrayons $3x$ des deux côtés : $$26x - \cancel{3x} + 11 = \cancel{3x} + 9 \Rightarrow 23x + 11 = 9$$ Soustrayons 11 : $$23x = 9 - 11 = -2$$ $$x = \frac{-2}{23}$$ Vérifions la condition $18x + 11 \geq 0$ : $$18 \times \frac{-2}{23} + 11 = \frac{-36}{23} + 11 = \frac{-36 + 253}{23} = \frac{217}{23} > 0$$ Donc $x = -\frac{2}{23}$ est solution. 4. **Cas 2** : $$8x + 1 (-(18x + 11)) = 3x + 9$$ $$8x - 18x - 11 = 3x + 9$$ $$-10x - 11 = 3x + 9$$ Ajoutons $10x$ des deux côtés : $$-11 = 3x + 9 + 10x = 13x + 9$$ Soustrayons 9 : $$-11 - 9 = 13x \Rightarrow -20 = 13x$$ $$x = \frac{-20}{13}$$ Vérifions la condition $18x + 11 < 0$ : $$18 \times \frac{-20}{13} + 11 = \frac{-360}{13} + 11 = \frac{-360 + 143}{13} = \frac{-217}{13} < 0$$ Donc $x = -\frac{20}{13}$ est solution. 5. **Réponse finale pour l'équation 1** : $$x = -\frac{2}{23} \text{ ou } x = -\frac{20}{13}$$ --- 6. **Énoncé du problème 2a** : Résoudre $3x + 2 = 13$. 7. **Résolution** : $$3x + 2 = 13$$ Soustrayons 2 : $$3x = 11$$ Divisons par 3 : $$x = \frac{11}{3}$$ --- 8. **Énoncé du problème 2b** : Résoudre $4x - 1 = 7$. 9. **Résolution** : $$4x - 1 = 7$$ Ajoutons 1 : $$4x = 8$$ Divisons par 4 : $$x = 2$$ --- 10. **Énoncé du problème 3** : Résoudre l'inéquation $-3x + 2 > 3$. 11. **Résolution** : $$-3x + 2 > 3$$ Soustrayons 2 : $$-3x > 1$$ Divisons par $-3$ (inversion du sens de l'inégalité) : $$x < \frac{1}{-3} = -\frac{1}{3}$$ --- 12. **Réponse finale pour les équations et inéquation** : - $x = \frac{11}{3}$ - $x = 2$ - $x < -\frac{1}{3}$ --- 13. **Exercice 3, question 1** : Nombre de bactéries après augmentation de 350 %. Le nombre initial est 130. Une augmentation de 350 % signifie multiplier par $1 + \frac{350}{100} = 4.5$. $$130 \times 4.5 = 585$$ Donc, il y a 585 bactéries après 2 jours. --- 14. **Exercice 3, question 2** : Variation totale après +30 % puis -30 %. Soit un prix initial $P$. Après +30 % : $P_1 = P \times 1.3$ Après -30 % : $P_2 = P_1 \times 0.7 = P \times 1.3 \times 0.7 = P \times 0.91$ La variation totale est donc $0.91 - 1 = -0.09$, soit une baisse de 9 %. --- 15. **Exercice 3, question 3** : Montant après 10 ans à 5 % d'intérêt annuel. Montant initial $M_0 = 1500$. Taux annuel $r = 5\% = 0.05$. Durée $n = 18 - 8 = 10$ ans. Formule des intérêts composés : $$M = M_0 (1 + r)^n = 1500 \times (1.05)^{10}$$ Calculons : $$(1.05)^{10} \approx 1.6289$$ $$M \approx 1500 \times 1.6289 = 2443.35$$ Le montant sera environ 2443.35. --- 16. **Exercice 5** : Calculer $\frac{175}{4}$. $$\frac{175}{4} = 43.75$$ --- 17. **Exercice 4** : Résoudre l'équation $x^2 - 22x + 108 = 0$. Utilisons la formule quadratique : $$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$$ Ici, $a=1$, $b=-22$, $c=108$. Calcul du discriminant : $$\Delta = (-22)^2 - 4 \times 1 \times 108 = 484 - 432 = 52$$ $$\sqrt{52} = 2\sqrt{13}$$ Donc : $$x = \frac{22 \pm 2\sqrt{13}}{2} = 11 \pm \sqrt{13}$$ Les solutions sont $x = 11 + \sqrt{13}$ et $x = 11 - \sqrt{13}$. --- 18. **Résumé** : - Exercice 1 : $x = -\frac{2}{23}$ ou $x = -\frac{20}{13}$ - Exercice 2a : $x = \frac{11}{3}$ - Exercice 2b : $x = 2$ - Exercice 3 (inéquation) : $x < -\frac{1}{3}$ - Exercice 3 question 1 : 585 bactéries - Exercice 3 question 2 : baisse de 9 % - Exercice 3 question 3 : montant environ 2443.35 - Exercice 5 : $43.75$ - Exercice 4 : $x = 11 \pm \sqrt{13}$