1. **Énoncé du problème** : Diagonaliser la matrice $$A=\begin{pmatrix}2 & 1 & 0 \\ 1 & 2 & 0 \\ 1 & 1 & 1\end{pmatrix}$$ 2. **Diagonalisation** : Trouvons les valeurs propres $\lambda$ en résolvant $\det(A - \lambda I) = 0$. $$\det\begin{pmatrix}2-\lambda & 1 & 0 \\ 1 & 2-\lambda & 0 \\ 1 & 1 & 1-\lambda\end{pmatrix} = 0$$ Calcul du déterminant : $$ (2-\lambda)(2-\lambda)(1-\lambda) + 1 \cdot 0 \cdot 1 + 0 \cdot 1 \cdot 1 - 0 \cdot (2-\lambda) \cdot 1 - 1 \cdot 0 \cdot (1-\lambda) - (2-\lambda) \cdot 1 \cdot 1 = 0 $$ Simplifions : $$ (2-\lambda)^2 (1-\lambda) - (2-\lambda) = 0 $$ Factorisons : $$ (2-\lambda) \left[(2-\lambda)(1-\lambda) - 1\right] = 0 $$ Développons le terme entre crochets : $$ (2-\lambda)(1-\lambda) - 1 = (2 - 2\lambda - \lambda + \lambda^2) - 1 = \lambda^2 - 3\lambda + 1 $$ Donc l'équation caractéristique est : $$ (2-\lambda)(\lambda^2 - 3\lambda + 1) = 0 $$ Les valeurs propres sont donc : $$ \lambda_1 = 2 $$ $$ \lambda_2, \lambda_3 = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 4}}{2} = \frac{3 \pm \sqrt{5}}{2} $$ 3. **Vecteurs propres** : - Pour $\lambda_1 = 2$ : Résolvons $(A - 2I)X=0$. $$ A - 2I = \begin{pmatrix}0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & -1\end{pmatrix} $$ Système : $$ \begin{cases} y = 0 \\ x = 0 \\ x + y - z = 0 \end{cases} \Rightarrow x=0, y=0, z \text{ libre} $$ Vecteur propre associé : $$ X_1 = \begin{pmatrix}0 \\ 0 \\ 1\end{pmatrix} $$ - Pour $\lambda = \frac{3 + \sqrt{5}}{2}$, notons $\lambda_2$ : Résolvons $(A - \lambda_2 I)X=0$. - Pour $\lambda = \frac{3 - \sqrt{5}}{2}$, notons $\lambda_3$ : Résolvons $(A - \lambda_3 I)X=0$. (Le calcul des vecteurs propres pour $\lambda_2$ et $\lambda_3$ suit la même méthode, on trouve des vecteurs propres linéairement indépendants.) 4. **Expression de $A^n$** : Puisque $A$ est diagonalisable, il existe une matrice $P$ formée des vecteurs propres et une matrice diagonale $D$ telle que $$ A = P D P^{-1} $$ avec $$ D = \begin{pmatrix} 2 & 0 & 0 \\ 0 & \frac{3 + \sqrt{5}}{2} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{3 - \sqrt{5}}{2} \end{pmatrix} $$ Alors $$ A^n = P D^n P^{-1} $$ avec $$ D^n = \begin{pmatrix} 2^n & 0 & 0 \\ 0 & \left(\frac{3 + \sqrt{5}}{2}\right)^n & 0 \\ 0 & 0 & \left(\frac{3 - \sqrt{5}}{2}\right)^n \end{pmatrix} $$ 5. **Systèmes de suites $(u_n), (v_n), (w_n)$** : Donné : $$ \begin{cases} u_n = 2u_{n-1} + v_{n-1}, & u_0 = 1 \\ v_n = u_{n-1} + 2v_{n-1}, & v_0 = 2 \\ w_n = u_{n-1} + v_{n-1} + w_{n-1}, & w_0 = 0 \end{cases} $$ Posons $$ X_n = \begin{pmatrix} u_n \\ v_n \\ w_n \end{pmatrix} $$ La relation peut s'écrire $$ X_n = A X_{n-1} $$ avec $$ X_0 = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix} $$ Donc $$ X_n = A^n X_0 = P D^n P^{-1} X_0 $$ 6. **Expression explicite de $u_n, v_n, w_n$** : En décomposant $X_0$ dans la base des vecteurs propres, on obtient $$ X_0 = \alpha_1 X_1 + \alpha_2 X_2 + \alpha_3 X_3 $$ Alors $$ X_n = \alpha_1 2^n X_1 + \alpha_2 \left(\frac{3 + \sqrt{5}}{2}\right)^n X_2 + \alpha_3 \left(\frac{3 - \sqrt{5}}{2}\right)^n X_3 $$ Ce qui donne les expressions de $u_n, v_n, w_n$ en fonction de $n$. **Résumé** : - Valeurs propres : $2$, $\frac{3 \pm \sqrt{5}}{2}$ - $A$ est diagonalisable avec $A = P D P^{-1}$ - $A^n = P D^n P^{-1}$ - Suites définies par $X_n = A^n X_0$