1. **Énoncé du problème :** Prouver que $B = X^2 + X + 1$ divise $A = X^{3n+2} + X^{3m+1} + X^{3p}$ pour $n,m,p \geq 0$. 2. **Rappel de la propriété importante :** Le polynôme $B = X^2 + X + 1$ est le polynôme minimal des racines cubiques de l'unité autres que 1. En effet, $X^3 - 1 = (X-1)(X^2 + X + 1)$. 3. **Conséquence clé :** Pour tout entier $k$, on a $X^{3k} - 1$ divisible par $B$, donc $X^{3k} \equiv 1 \pmod{B}$. 4. **Calcul modulo $B$ :** On calcule chaque terme de $A$ modulo $B$ : - $X^{3n+2} = X^{3n} \cdot X^2 \equiv 1 \cdot X^2 = X^2 \pmod{B}$ - $X^{3m+1} = X^{3m} \cdot X \equiv 1 \cdot X = X \pmod{B}$ - $X^{3p} \equiv 1 \pmod{B}$ 5. **Somme modulo $B$ :** $$A \equiv X^2 + X + 1 \equiv B \equiv 0 \pmod{B}$$ 6. **Conclusion :** Puisque $A \equiv 0 \pmod{B}$, cela signifie que $B$ divise $A$. **Réponse finale :** $B$ divise $A$ pour tous $n,m,p \geq 0$.