1. Énoncé du problème : Montrer que $B$ divise $A$ dans les cas donnés. 2. Rappel de la définition : $B$ divise $A$ signifie qu'il existe un polynôme $Q$ tel que $A = B \times Q$. 3. Cas 1 : $A = X^{3n+2} + X^{3m+1} + X^{3p}$ et $B = X^2 + X + 1$, avec $n,m,p \geq 0$. 4. Remarque importante : Le polynôme $B = X^2 + X + 1$ est le polynôme minimal de racines cubiques de l'unité autres que 1, donc $X^3 \equiv 1 \pmod{B}$. 5. Utilisation de cette propriété : $$ X^{3n+2} = X^{3n} \times X^2 \equiv 1^n \times X^2 = X^2 \pmod{B} $$ $$ X^{3m+1} = X^{3m} \times X \equiv 1^m \times X = X \pmod{B} $$ $$ X^{3p} = (X^3)^p \equiv 1^p = 1 \pmod{B} $$ 6. Donc modulo $B$, on a : $$ A \equiv X^2 + X + 1 \equiv B \pmod{B} $$ 7. Cela signifie que $B$ divise $A$ dans le premier cas. 8. Cas 2 : $A = (X+1)^{2n} - X^{2n} - 2X - 1$ et $B = X(X+1)(2X+1)$, avec $n \geq 1$. 9. On doit montrer que $B$ divise $A$, c'est-à-dire que $A$ s'annule en toutes les racines de $B$. 10. Les racines de $B$ sont $X=0$, $X=-1$, et $X=-\frac{1}{2}$. 11. Évaluation de $A$ en $X=0$ : $$ A(0) = (0+1)^{2n} - 0^{2n} - 2 \times 0 - 1 = 1 - 0 - 0 - 1 = 0 $$ 12. Évaluation de $A$ en $X=-1$ : $$ A(-1) = 0^{2n} - (-1)^{2n} - 2(-1) - 1 = 0 - 1 + 2 - 1 = 0 $$ 13. Évaluation de $A$ en $X=-\frac{1}{2}$ : $$ A\left(-\frac{1}{2}\right) = \left(-\frac{1}{2} + 1\right)^{2n} - \left(-\frac{1}{2}\right)^{2n} - 2 \times \left(-\frac{1}{2}\right) - 1 = \left(\frac{1}{2}\right)^{2n} - \left(\frac{1}{2}\right)^{2n} + 1 - 1 = 0 $$ 14. Puisque $A$ s'annule en toutes les racines de $B$, $B$ divise $A$. 15. Conclusion : Dans les deux cas, $B$ divise $A$.