1. **Énoncé du problème :** Effectuer la division euclidienne de $P(X) = X^4 - 4X^3 - 2X^2 + 12X + 9$ par $P'(X)$, la dérivée de $P(X)$. 2. **Formule et règles importantes :** La division euclidienne de polynômes consiste à écrire $P(X) = Q(X) \times P'(X) + R(X)$ où $Q(X)$ est le quotient et $R(X)$ le reste, avec $\deg(R) < \deg(P')$. 3. **Calcul de $P'(X)$ :** $$P'(X) = \frac{d}{dX}(X^4 - 4X^3 - 2X^2 + 12X + 9) = 4X^3 - 12X^2 - 4X + 12$$ 4. **Division euclidienne de $P$ par $P'$ :** On divise $P(X)$ par $P'(X)$ en procédant par division polynomiale classique. - Premier terme du quotient : $\frac{X^4}{4X^3} = \frac{1}{4}X$ - Multiplier $P'(X)$ par $\frac{1}{4}X$ : $\frac{1}{4}X \times (4X^3 - 12X^2 - 4X + 12) = X^4 - 3X^3 - X^2 + 3X$ - Soustraire de $P(X)$ : $$P(X) - \left(X^4 - 3X^3 - X^2 + 3X\right) = (X^4 - 4X^3 - 2X^2 + 12X + 9) - (X^4 - 3X^3 - X^2 + 3X)$$ $$= -X^3 - X^2 + 9X + 9$$ - Deuxième terme du quotient : $\frac{-X^3}{4X^3} = -\frac{1}{4}$ - Multiplier $P'(X)$ par $-\frac{1}{4}$ : $-\frac{1}{4} \times (4X^3 - 12X^2 - 4X + 12) = -X^3 + 3X^2 + X - 3$ - Soustraire : $$(-X^3 - X^2 + 9X + 9) - (-X^3 + 3X^2 + X - 3) = 0 - 4X^2 + 8X + 12$$ 5. **Résultat de la division :** $$Q(X) = \frac{1}{4}X - \frac{1}{4}, \quad R(X) = -4X^2 + 8X + 12$$ 6. **Conclusion :** La division euclidienne de $P$ par $P'$ donne $$P(X) = \left(\frac{1}{4}X - \frac{1}{4}\right) P'(X) + (-4X^2 + 8X + 12)$$ **Réponse finale :** $$Q(X) = \frac{1}{4}X - \frac{1}{4}, \quad R(X) = -4X^2 + 8X + 12$$