1. **Énoncé du problème :** Diviser le polynôme $2x^3 - x^2 - 32x + 16$ par le binôme $x - 4$. 2. **Formule utilisée :** La division polynomiale consiste à diviser terme à terme en utilisant la méthode de la division longue. 3. **Étape 1 :** Diviser le premier terme du dividende par le premier terme du diviseur : $$\frac{2x^3}{x} = 2x^2$$ 4. **Étape 2 :** Multiplier $2x^2$ par le diviseur $x - 4$ : $$2x^2 \times (x - 4) = 2x^3 - 8x^2$$ 5. **Étape 3 :** Soustraire ce produit du dividende : $$\left(2x^3 - x^2 - 32x + 16\right) - \left(2x^3 - 8x^2\right) = \cancel{2x^3} - x^2 - 32x + 16 - \cancel{2x^3} + 8x^2 = 7x^2 - 32x + 16$$ 6. **Étape 4 :** Diviser le premier terme du nouveau polynôme par $x$ : $$\frac{7x^2}{x} = 7x$$ 7. **Étape 5 :** Multiplier $7x$ par $x - 4$ : $$7x \times (x - 4) = 7x^2 - 28x$$ 8. **Étape 6 :** Soustraire ce produit du polynôme précédent : $$\left(7x^2 - 32x + 16\right) - \left(7x^2 - 28x\right) = \cancel{7x^2} - 32x + 16 - \cancel{7x^2} + 28x = -4x + 16$$ 9. **Étape 7 :** Diviser le premier terme du nouveau polynôme par $x$ : $$\frac{-4x}{x} = -4$$ 10. **Étape 8 :** Multiplier $-4$ par $x - 4$ : $$-4 \times (x - 4) = -4x + 16$$ 11. **Étape 9 :** Soustraire ce produit du polynôme précédent : $$\left(-4x + 16\right) - \left(-4x + 16\right) = \cancel{-4x} + 16 - \cancel{-4x} - 16 = 0$$ 12. **Conclusion :** Le quotient de la division est $2x^2 + 7x - 4$ et le reste est $0$. **Réponse finale :** $$\boxed{2x^2 + 7x - 4}$$