1. **Énoncé du problème :** Trouver le domaine de définition des équations et inéquations impliquant la fonction logarithme népérien $\ln(x)$. 2. **Rappel important :** La fonction $\ln(x)$ est définie uniquement pour $x > 0$. Cela signifie que toute expression à l'intérieur du logarithme doit être strictement positive. 3. **Formule et règle :** Pour une expression $\ln(f(x))$, le domaine est donné par $f(x) > 0$. 4. **Exemple d'équation :** Résoudre $\ln(2x - 3) = 1$. - Domaine : $2x - 3 > 0$ - $2x > 3$ - $x > \frac{3}{2}$ 5. **Résolution de l'équation :** - $\ln(2x - 3) = 1$ - $2x - 3 = e^1 = e$ - $2x = e + 3$ - $x = \frac{e + 3}{2}$ Vérification que $x > \frac{3}{2}$ est respectée car $e \approx 2.718 > 0$. 6. **Exemple d'inéquation :** Résoudre $\ln(x^2 - 4) \leq 0$. - Domaine : $x^2 - 4 > 0$ - $(x - 2)(x + 2) > 0$ - $x < -2$ ou $x > 2$ - Inéquation : $\ln(x^2 - 4) \leq 0$ - $x^2 - 4 \leq e^0 = 1$ - $x^2 \leq 5$ - $-\sqrt{5} \leq x \leq \sqrt{5}$ 7. **Intersection du domaine et de l'inéquation :** - Domaine : $x < -2$ ou $x > 2$ - Inéquation : $-\sqrt{5} \leq x \leq \sqrt{5}$ - Intersection : $-\sqrt{5} \leq x < -2$ ou $2 < x \leq \sqrt{5}$ 8. **Conclusion :** - Pour toute équation ou inéquation avec $\ln(f(x))$, on doit d'abord trouver le domaine $f(x) > 0$. - Ensuite, résoudre l'équation ou l'inéquation dans ce domaine. **Réponse finale :** Le domaine de définition est $\{x \mid f(x) > 0\}$, et les solutions doivent respecter cette condition.