1. Énoncé du problème : Soient $x$ et $y$ deux nombres réels tels que $3 \leq x \leq 7$ et $-5 \leq y \leq -2$. Il s'agit d'encadrer les expressions $x + y$, $x - y$ et $xy$. 2. Encadrement de $x + y$ : La somme de deux nombres réels est encadrée par la somme des bornes inférieures et la somme des bornes supérieures. Formule : $$\min(x) + \min(y) \leq x + y \leq \max(x) + \max(y)$$ Calcul : $$3 + (-5) = -2 \leq x + y \leq 7 + (-2) = 5$$ Donc, $x + y$ est encadré par $-2$ et $5$. 3. Encadrement de $x - y$ : La différence $x - y$ est encadrée par $\min(x) - \max(y)$ et $\max(x) - \min(y)$ car soustraire un nombre négatif revient à ajouter sa valeur absolue. Calcul : $$3 - (-2) = 5 \leq x - y \leq 7 - (-5) = 12$$ Donc, $x - y$ est encadré par $5$ et $12$. 4. Encadrement de $xy$ : Pour le produit, il faut considérer les quatre produits des bornes et prendre le minimum et le maximum. Calcul des produits : $$3 \times (-5) = -15$$ $$3 \times (-2) = -6$$ $$7 \times (-5) = -35$$ $$7 \times (-2) = -14$$ Le minimum est $-35$ et le maximum est $-6$. Donc, $xy$ est encadré par $-35$ et $-6$. 5. Résumé final : $$-2 \leq x + y \leq 5$$ $$5 \leq x - y \leq 12$$ $$-35 \leq xy \leq -6$$