1. **Énoncé du problème :** Soient $sc$ et $y$ deux nombres réels tels que $1 \leq sc \leq 2$ et $y \in [2,5]$. Donner un encadrement des expressions suivantes : $sc + y$, $2sc - y$, $3sc + y$, $sc^2 y$, $\frac{2 sc^2}{y+2}$. 2. **Formules et règles importantes :** - Pour une somme $a+b$, l'encadrement est $[\min(a_{min}+b_{min}, a_{max}+b_{max}), \max(a_{min}+b_{min}, a_{max}+b_{max})]$. - Pour une différence $a-b$, même principe. - Pour un produit $a \times b$, si $a$ et $b$ sont positifs, l'encadrement est $[a_{min}b_{min}, a_{max}b_{max}]$. - Pour un quotient $\frac{a}{b}$ avec $b>0$, l'encadrement est $[\frac{a_{min}}{b_{max}}, \frac{a_{max}}{b_{min}}]$. 3. **Calculs intermédiaires :** - $sc \in [1,2]$, $y \in [2,5]$ - $sc + y \in [1+2, 2+5] = [3,7]$ - $2sc - y \in [2\times1 - 5, 2\times2 - 2] = [2 - 5, 4 - 2] = [-3, 2]$ - $3sc + y \in [3\times1 + 2, 3\times2 + 5] = [3 + 2, 6 + 5] = [5, 11]$ - $sc^2 y$ : - $sc^2 \in [1^2, 2^2] = [1,4]$ - $y \in [2,5]$ - Produit positif donc $sc^2 y \in [1 \times 2, 4 \times 5] = [2, 20]$ - $\frac{2 sc^2}{y+2}$ : - $2 sc^2 \in [2 \times 1, 2 \times 4] = [2,8]$ - $y+2 \in [2+2, 5+2] = [4,7]$ - Quotient positif donc $\frac{2 sc^2}{y+2} \in \left[\frac{2}{7}, \frac{8}{4}\right] = \left[\frac{2}{7}, 2\right]$ --- 2. **Énoncé :** Soit $sc \in \mathbb{R}$ et $A = sc^2 - 3sc + 2$. (a) Encadrement de $A$ pour $sc \in [0,3]$. (b) Montrer que $A = (sc - 1)(sc - 2)$. (c) En déduire un autre encadrement de $A$. 3. **Résolution :** (a) Calculons $A$ aux bornes et au sommet de la parabole. - $A(0) = 0^2 - 3\times0 + 2 = 2$ - $A(3) = 3^2 - 3\times3 + 2 = 9 - 9 + 2 = 2$ - Le sommet est en $sc = \frac{3}{2} = 1.5$ car $A = sc^2 - 3sc + 2$ a un coefficient devant $sc^2$ positif. - $A(1.5) = (1.5)^2 - 3 \times 1.5 + 2 = 2.25 - 4.5 + 2 = -0.25$ Donc $A \in [-0.25, 2]$. (b) Factorisation : $$A = sc^2 - 3sc + 2 = (sc - 1)(sc - 2)$$ (c) Avec la factorisation et $sc \in [0,3]$ : - $sc - 1 \in [-1, 2]$ - $sc - 2 \in [-2, 1]$ Le produit $(sc - 1)(sc - 2)$ prend ses valeurs dans $[-2, 2]$ mais en vérifiant les valeurs extrêmes on confirme l'encadrement précédent $[-0.25, 2]$. --- 3. **Énoncé :** Soient $I = [-3, 2]$ et $J = [0, +\infty[$. (a) Représenter $I$ et $J$ sur une droite graduée. (b) Déterminer $I \cap J$ et $I \cup J$. **Réponses :** - $I \cap J = [0, 2]$ car c'est l'intersection des deux intervalles. - $I \cup J = [-3, +\infty[$ car l'union couvre de $-3$ à l'infini. --- **Réponse finale :** - Encadrements des expressions du 1 : - $sc + y \in [3,7]$ - $2sc - y \in [-3,2]$ - $3sc + y \in [5,11]$ - $sc^2 y \in [2,20]$ - $\frac{2 sc^2}{y+2} \in \left[\frac{2}{7}, 2\right]$ - Pour $A = sc^2 - 3sc + 2$ avec $sc \in [0,3]$ : - $A \in [-0.25, 2]$ - $A = (sc - 1)(sc - 2)$ - Pour $I = [-3,2]$ et $J = [0, +\infty[$ : - $I \cap J = [0,2]$ - $I \cup J = [-3, +\infty[$