1. **Énoncé du problème :** Montrer que pour tout entier naturel $n$, le nombre $$\left(\frac{4^{n+2} + 4^n}{2^{n+1} - 2^{2n}}\right)^2$$ est un entier naturel. 2. **Formule et règles importantes :** - Rappelons que $4^k = (2^2)^k = 2^{2k}$. - Pour simplifier une expression, on factorise et réduit les puissances de même base. 3. **Travail intermédiaire :** - Exprimons les puissances de 4 en puissances de 2 : $$4^{n+2} = 2^{2(n+2)} = 2^{2n+4}$$ $$4^n = 2^{2n}$$ - Le numérateur devient : $$2^{2n+4} + 2^{2n} = 2^{2n}(2^4 + 1) = 2^{2n}(16 + 1) = 17 \times 2^{2n}$$ - Le dénominateur est : $$2^{n+1} - 2^{2n}$$ - Factorisons le dénominateur : $$2^{n+1} - 2^{2n} = 2^{n+1} - 2^{2n} = 2^{n+1} - 2^{2n}$$ - Observons que $2^{2n} = (2^n)^2$ et $2^{n+1} = 2 \times 2^n$. - Posons $a = 2^n$, alors le dénominateur devient : $$2a - a^2 = a(2 - a)$$ 4. **Expression simplifiée :** $$\frac{17 \times 2^{2n}}{2^{n+1} - 2^{2n}} = \frac{17 \times 2^{2n}}{a(2 - a)} = \frac{17 \times a^2}{a(2 - a)} = \frac{17a}{2 - a}$$ 5. **Analysons $\frac{17a}{2 - a}$ :** - Rappelons que $a = 2^n$. - Donc l'expression est : $$\frac{17 \times 2^n}{2 - 2^n}$$ 6. **Calculons le carré :** $$\left(\frac{17 \times 2^n}{2 - 2^n}\right)^2 = \frac{289 \times 2^{2n}}{(2 - 2^n)^2}$$ 7. **Vérification que c'est un entier naturel :** - Pour $n=0$, $2^0=1$, l'expression devient : $$\frac{17 \times 1}{2 - 1} = 17$$ - Le carré est $17^2 = 289$, un entier naturel. - Pour $n=1$, $2^1=2$, le dénominateur $2 - 2 = 0$ donc expression non définie. - Pour $n \geq 2$, $2^n \geq 4$, donc $2 - 2^n$ est négatif. - Posons $m = 2^n$, alors $m \geq 4$. - L'expression est : $$\frac{17m}{2 - m} = -\frac{17m}{m - 2}$$ - Le carré est : $$\left(-\frac{17m}{m - 2}\right)^2 = \frac{289 m^2}{(m - 2)^2}$$ - Comme $m = 2^n$, $m$ est une puissance de 2. - Vérifions si $\frac{m}{m-2}$ est un entier pour $m=4,8,16,...$ : - Pour $m=4$ : $\frac{4}{4-2} = \frac{4}{2} = 2$ entier. - Pour $m=8$ : $\frac{8}{8-2} = \frac{8}{6} = \frac{4}{3}$ non entier. - Donc l'expression n'est pas toujours un entier. 8. **Reconsidérons la simplification initiale :** - Revenons à l'expression initiale : $$\left(\frac{4^{n+2} + 4^n}{2^{n+1} - 2^{2n}}\right)^2$$ - Factorisons le dénominateur différemment : $$2^{n+1} - 2^{2n} = 2^{n+1} - (2^n)^2 = 2^{n+1} - 2^{2n}$$ - Posons $x = 2^n$, alors dénominateur = $2x - x^2 = x(2 - x)$. - Numérateur : $$4^{n+2} + 4^n = 2^{2n+4} + 2^{2n} = 2^{2n}(2^4 + 1) = 17 \times 2^{2n} = 17 x^2$$ - Donc l'expression est : $$\frac{17 x^2}{x(2 - x)} = \frac{17 x}{2 - x}$$ - Pour $n=0$, $x=1$, expression = $\frac{17 \times 1}{2 - 1} = 17$ entier. - Pour $n=1$, $x=2$, dénominateur = 0, expression non définie. - Pour $n \geq 2$, $x \geq 4$, donc $2 - x$ négatif. - L'expression est négative, mais on élève au carré, donc le résultat est positif. - Vérifions si $\frac{17 x}{2 - x}$ est un entier pour $n \geq 2$. - Pour $n=2$, $x=4$, expression = $\frac{17 \times 4}{2 - 4} = \frac{68}{-2} = -34$, carré = 1156 entier. - Pour $n=3$, $x=8$, expression = $\frac{17 \times 8}{2 - 8} = \frac{136}{-6} = -\frac{68}{3}$, carré = $\frac{4624}{9}$ non entier. 9. **Conclusion :** - L'expression n'est pas un entier pour tout $n$ naturel. - Il faut vérifier l'énoncé ou la définition de $n$. **Réponse finale :** $$\boxed{\text{Pour } n=0 \text{ et } n=2, \left(\frac{4^{n+2} + 4^n}{2^{n+1} - 2^{2n}}\right)^2 \in \mathbb{N}}$$ Sinon, l'expression n'est pas toujours un entier naturel.