1. **Énoncé du problème :** Résoudre l'équation complexe $z^2 - (1 + i)z + 2(1 + i) = 0$. 2. **Vérification de $(1 - 3i)^2 = -8 - 6i$ :** Calculons $(1 - 3i)^2$ : $$ (1 - 3i)^2 = 1^2 - 2 \times 1 \times 3i + (3i)^2 = 1 - 6i + 9i^2. $$ Sachant que $i^2 = -1$, on a : $$ 1 - 6i + 9(-1) = 1 - 6i - 9 = -8 - 6i. $$ Donc, la vérification est correcte. 3. **Résolution de l'équation $(E)$ :** L'équation est de la forme $z^2 + bz + c = 0$ avec $b = -(1 + i)$ et $c = 2(1 + i)$. La formule pour les racines est : $$ z = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4c}}{2}. $$ Calculons le discriminant : $$ \Delta = b^2 - 4c = (-(1 + i))^2 - 4 \times 2(1 + i) = (1 + i)^2 - 8(1 + i). $$ Calculons $(1 + i)^2$ : $$ (1 + i)^2 = 1 + 2i + i^2 = 1 + 2i - 1 = 2i. $$ Donc : $$ \Delta = 2i - 8 - 8i = -8 - 6i. $$ Nous avons déjà vérifié que $-8 - 6i = (1 - 3i)^2$. Ainsi : $$ \sqrt{\Delta} = 1 - 3i. $$ Les racines sont donc : $$ z_1 = \frac{1 + i + 1 - 3i}{2} = \frac{2 - 2i}{2} = 1 - i, $$ $$ z_2 = \frac{1 + i - (1 - 3i)}{2} = \frac{1 + i - 1 + 3i}{2} = \frac{4i}{2} = 2i. $$ **Réponse finale :** $z_1 = 1 - i$ et $z_2 = 2i$.