1. Énonçons le problème : Trouver l'équation cartésienne de la droite passant par les points $E\left(-\frac{5}{3}; \frac{3}{2}\right)$ et $F\left(\frac{4}{3}; \frac{2}{5}\right)$.\n\n2. Rappel de la formule : L'équation cartésienne d'une droite passant par deux points $E(x_1,y_1)$ et $F(x_2,y_2)$ est donnée par \n$$ (y - y_1) = m(x - x_1) $$\navec $m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$ le coefficient directeur (pente).\n\n3. Calculons la pente $m$ :\n$$ m = \frac{\frac{2}{5} - \frac{3}{2}}{\frac{4}{3} - \left(-\frac{5}{3}\right)} = \frac{\frac{2}{5} - \frac{3}{2}}{\frac{4}{3} + \frac{5}{3}} = \frac{\frac{2}{5} - \frac{3}{2}}{\frac{9}{3}} = \frac{\frac{2}{5} - \frac{3}{2}}{3} $$\nCalculons le numérateur :\n$$ \frac{2}{5} - \frac{3}{2} = \frac{4}{10} - \frac{15}{10} = -\frac{11}{10} $$\nDonc :\n$$ m = \frac{-\frac{11}{10}}{3} = -\frac{11}{10} \times \frac{1}{3} = -\frac{11}{30} $$\n\n4. Écrivons l'équation en utilisant le point $E$ :\n$$ y - \frac{3}{2} = -\frac{11}{30} \left(x - \left(-\frac{5}{3}\right)\right) = -\frac{11}{30} \left(x + \frac{5}{3}\right) $$\n\n5. Développons :\n$$ y - \frac{3}{2} = -\frac{11}{30}x - \frac{11}{30} \times \frac{5}{3} = -\frac{11}{30}x - \frac{55}{90} = -\frac{11}{30}x - \frac{11}{18} $$\n\n6. Isolons $y$ :\n$$ y = -\frac{11}{30}x - \frac{11}{18} + \frac{3}{2} $$\nCalculons $-\frac{11}{18} + \frac{3}{2}$ :\n$$ -\frac{11}{18} + \frac{3}{2} = -\frac{11}{18} + \frac{27}{18} = \frac{16}{18} = \frac{8}{9} $$\nDonc :\n$$ y = -\frac{11}{30}x + \frac{8}{9} $$\n\n7. Pour obtenir l'équation cartésienne sous forme $Ax + By + C = 0$, multiplions par le PPCM $90$ pour éliminer les dénominateurs :\n$$ 90y = 90 \left(-\frac{11}{30}x + \frac{8}{9}\right) $$\n$$ 90y = -33x + 80 $$\n\n8. Réarrangeons :\n$$ 33x + 90y - 80 = 0 $$\n\nCeci est l'équation cartésienne de la droite $(EF)$.