1. Énonçons le problème : résoudre l'équation quadratique $$x^2 - x - 1 = 0$$. 2. La formule générale pour résoudre une équation quadratique $$ax^2 + bx + c = 0$$ est donnée par : $$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$$ Ici, $$a=1$$, $$b=-1$$, et $$c=-1$$. 3. Calculons le discriminant $$\Delta = b^2 - 4ac$$ : $$\Delta = (-1)^2 - 4 \times 1 \times (-1) = 1 + 4 = 5$$ 4. Puisque $$\Delta > 0$$, il y a deux solutions réelles distinctes. 5. Appliquons la formule : $$x = \frac{-(-1) \pm \sqrt{5}}{2 \times 1} = \frac{1 \pm \sqrt{5}}{2}$$ 6. Les solutions sont donc : $$x_1 = \frac{1 + \sqrt{5}}{2}$$ $$x_2 = \frac{1 - \sqrt{5}}{2}$$ 7. En résumé, les racines de l'équation $$x^2 - x - 1 = 0$$ sont $$\frac{1 + \sqrt{5}}{2}$$ et $$\frac{1 - \sqrt{5}}{2}$$.