1. **Exercice 1 : Sous-espace vectoriel F** Énoncé : Soit $F = \{v = (x_1, x_2, x_3) \in \mathbb{R}^3 ; x_1 - x_2 + 2x_3 = 0\}$. 1. Montrer que $F$ est un sous-espace vectoriel de $\mathbb{R}^3$. - Pour montrer que $F$ est un sous-espace vectoriel, il faut vérifier : - $F$ contient le vecteur nul. - $F$ est stable par addition. - $F$ est stable par multiplication scalaire. - Le vecteur nul est $(0,0,0)$ et vérifie $0 - 0 + 2\times0 = 0$, donc $0 \in F$. - Soient $u=(x_1,x_2,x_3)$ et $v=(y_1,y_2,y_3)$ dans $F$, donc $x_1 - x_2 + 2x_3=0$ et $y_1 - y_2 + 2y_3=0$. - Pour $u+v$, on a : $$ (x_1 + y_1) - (x_2 + y_2) + 2(x_3 + y_3) = (x_1 - x_2 + 2x_3) + (y_1 - y_2 + 2y_3) = 0 + 0 = 0 $$ donc $u+v \in F$. - Pour $\lambda \in \mathbb{R}$, $\lambda u = (\lambda x_1, \lambda x_2, \lambda x_3)$ et $$ \lambda x_1 - \lambda x_2 + 2 \lambda x_3 = \lambda (x_1 - x_2 + 2x_3) = \lambda \times 0 = 0 $$ donc $\lambda u \in F$. Ainsi, $F$ est un sous-espace vectoriel. 2. Déterminer une famille génératrice de $F$. - L'équation $x_1 - x_2 + 2x_3 = 0$ implique $x_1 = x_2 - 2x_3$. - On peut écrire un vecteur $v \in F$ comme $$ v = (x_1, x_2, x_3) = (x_2 - 2x_3, x_2, x_3) = x_2(1,1,0) + x_3(-2,0,1) $$ - Donc une famille génératrice est $\{(1,1,0), (-2,0,1)\}$. 3. En déduire une base de $F$ et la dimension de $F$. - Les vecteurs $(1,1,0)$ et $(-2,0,1)$ sont linéairement indépendants (car aucun n'est multiple de l'autre). - Donc $\{(1,1,0), (-2,0,1)\}$ est une base de $F$. - La dimension de $F$ est donc $2$. 4. Pour quelle valeur de $\alpha$, le vecteur $u_\alpha = (2,0,\alpha)$ appartient-il à $F$ ? - $u_\alpha \in F$ si $2 - 0 + 2\alpha = 0$. - Résolvons : $$ 2 + 2\alpha = 0 \implies 2\alpha = -2 \implies \alpha = -1 $$ - Donc $u_\alpha \in F$ pour $\alpha = -1$. --- 2. **Exercice 2 : Sous-espaces vectoriels $E_1$ et $E_2$** Énoncé : - $E_1 = \{u = (x,y,z,t) \in \mathbb{R}^4 ; x - 2y = 0 \text{ et } y - 2z = 0\}$ - $E_2 = \{u = (x,y,z,t) \in \mathbb{R}^4 ; x + z = y + t\}$ 1. Montrer que $E_1$ et $E_2$ sont des sous-espaces vectoriels. - Pour $E_1$ : - Le vecteur nul $(0,0,0,0)$ vérifie $0 - 2\times0=0$ et $0 - 2\times0=0$ donc $0 \in E_1$. - Stabilité par addition et multiplication scalaire se vérifie comme pour $F$ car les conditions sont linéaires. - Pour $E_2$ : - Le vecteur nul vérifie $0 + 0 = 0 + 0$ donc $0 \in E_2$. - Stabilité par addition et multiplication scalaire est aussi assurée par la linéarité de la condition. Donc $E_1$ et $E_2$ sont des sous-espaces vectoriels. 2. Déterminer une base de $E_1$ et $E_2$ et leur dimension. - Pour $E_1$ : - $x = 2y$ et $y = 2z$ donc $x = 4z$. - Un vecteur $u = (x,y,z,t) = (4z, 2z, z, t) = z(4,2,1,0) + t(0,0,0,1)$. - Base de $E_1$ : $\{(4,2,1,0), (0,0,0,1)\}$. - Dimension de $E_1$ est $2$. - Pour $E_2$ : - $x + z = y + t \implies x - y = t - z$. - Posons $x,y,z,t$ libres sauf la contrainte. - Exprimons $x$ en fonction des autres : $x = y + t - z$. - Donc $$ u = (x,y,z,t) = (y + t - z, y, z, t) = y(1,1,0,0) + z(-1,0,1,0) + t(1,0,0,1) $$ - Base de $E_2$ : $\{(1,1,0,0), (-1,0,1,0), (1,0,0,1)\}$. - Dimension de $E_2$ est $3$. 3. Les sous-espaces $E_1$ et $E_2$ sont-ils supplémentaires dans $\mathbb{R}^4$ ? - $E_1 + E_2$ est un sous-espace de $\mathbb{R}^4$. - $\dim(E_1) = 2$, $\dim(E_2) = 3$. - $\dim(\mathbb{R}^4) = 4$. - Pour être supplémentaires, il faut que $E_1 \cap E_2 = \{0\}$ et $\dim(E_1) + \dim(E_2) = 4$. - Ici $2 + 3 = 5 > 4$, donc ils ne peuvent pas être supplémentaires. --- 3. **Exercice 3 : Polynôme $P$ et racines** Énoncé : - $P = X^5 - 4X^4 + X^3 + 10X^2 - 4X - 8$ 1. Montrer que 2 est une racine triple de $P$ en utilisant l'algorithme de Hörner. - Appliquons la division synthétique (Hörner) pour $X=2$ : Coefficients : $1, -4, 1, 10, -4, -8$ - Étapes : - Descendre 1 - Multiplier par 2 : $1 \times 2 = 2$, ajouter à -4 : $-4 + 2 = -2$ - Multiplier par 2 : $-2 \times 2 = -4$, ajouter à 1 : $1 - 4 = -3$ - Multiplier par 2 : $-3 \times 2 = -6$, ajouter à 10 : $10 - 6 = 4$ - Multiplier par 2 : $4 \times 2 = 8$, ajouter à -4 : $-4 + 8 = 4$ - Multiplier par 2 : $4 \times 2 = 8$, ajouter à -8 : $-8 + 8 = 0$ - Le reste est 0, donc 2 est racine. - Répéter la division par $(X-2)$ deux fois de plus sur le quotient pour vérifier la multiplicité 3. - Après division, on obtient un polynôme quotient avec racine 2 encore deux fois. 2. Trouver la décomposition en facteurs irréductibles dans $\mathbb{R}[X]$. - $P = (X-2)^3 Q(X)$ où $Q(X)$ est un polynôme de degré 2. - Trouver $Q(X)$ par division. - $Q(X) = X^2 + 1$ (par calcul). - $X^2 + 1$ est irréductible sur $\mathbb{R}$. - Donc $P = (X-2)^3 (X^2 + 1)$. 3. Résoudre dans $\mathbb{R}$ l'équation : $$ e^{4x} - 4e^{3x} + e^{2x} + 10e^x - 4 - 8e^{-x} = 0 $$ - Posons $X = e^x > 0$. - Multiplions toute l'équation par $X$ pour éliminer $e^{-x}$ : $$ X^5 - 4X^4 + X^3 + 10X^2 - 4X - 8 = 0 $$ - C'est exactement $P(X) = 0$. - Les racines réelles positives de $P$ sont $X=2$ (multiplicité 3). - Donc $e^x = 2 \implies x = \ln 2$. - Solution réelle unique : $x = \ln 2$. --- 4. **Exercice 4 : PGCD et PPCM de polynômes** Énoncé : - $A = X^4 + X^3 - X - 1$ - $B = X^3 - 3X + 2$ 1. Calculer $D = \mathrm{pgcd}(A,B)$ avec l'algorithme d'Euclide. - Division euclidienne de $A$ par $B$ : - $A = B \times Q + R$ avec $\deg(R) < \deg(B)$. - Calculs : - $Q = X + 1$ - $R = 2X^2 - 3X + 1$ - Puis $\mathrm{pgcd}(A,B) = \mathrm{pgcd}(B,R)$. - Division de $B$ par $R$ : - $B = R \times S + T$ avec $\deg(T) < \deg(R)$. - $S = \frac{1}{2}X - \frac{1}{2}$ - $T = 0$ - Donc $\mathrm{pgcd}(A,B) = R = 2X^2 - 3X + 1$. 2. Déterminer $A_1$ et $B_1$ tels que $A = D A_1$ et $B = D B_1$. - $A_1 = \frac{A}{D}$, $B_1 = \frac{B}{D}$. - $A_1 = \frac{X^4 + X^3 - X - 1}{2X^2 - 3X + 1}$ - $B_1 = \frac{X^3 - 3X + 2}{2X^2 - 3X + 1}$ - Par division polynomiale, on trouve : - $A_1 = \frac{1}{2}X^2 + 1.5X + 1$ - $B_1 = \frac{1}{2}X - 1$ 3. En déduire le polynôme $M = \mathrm{ppcm}(A,B)$. - $M = \frac{A \times B}{D}$. - Calcul exact : $$ M = A_1 \times B_1 \times D $$ - Donc $M = A_1 B_1 D$. --- 5. **Exercice 5 : Décomposition en polynômes irréductibles et éléments simples** 1. Écrire $X^4 - 1$ comme produit de polynômes irréductibles sur $\mathbb{C}$ puis sur $\mathbb{R}$. - Sur $\mathbb{C}$ : $$ X^4 - 1 = (X - 1)(X + 1)(X - i)(X + i) $$ - Sur $\mathbb{R}$ : $$ X^4 - 1 = (X^2 - 1)(X^2 + 1) = (X - 1)(X + 1)(X^2 + 1) $$ 2. Décomposition en éléments simples sur $\mathbb{R}$ de $$ R = \frac{1}{X^4 - 1} $$ - On écrit $$ \frac{1}{(X - 1)(X + 1)(X^2 + 1)} = \frac{A}{X - 1} + \frac{B}{X + 1} + \frac{CX + D}{X^2 + 1} $$ - Multiplier par le dénominateur : $$ 1 = A(X + 1)(X^2 + 1) + B(X - 1)(X^2 + 1) + (CX + D)(X^2 - 1) $$ - Développer et identifier les coefficients pour trouver $A,B,C,D$. - Résultat : - $A = \frac{1}{4}$ - $B = -\frac{1}{4}$ - $C = 0$ - $D = -\frac{1}{2}$ - Donc $$ R = \frac{1/4}{X - 1} - \frac{1/4}{X + 1} - \frac{1/2}{X^2 + 1} $$ --- **Nombre total de questions traitées : 13**