1. **Énoncé du problème** : Factoriser les expressions $C(x) = x^2 - x + 0{,}25$ et $D(x) = 2 - x^2$, puis étudier leur signe. 2. **Factorisation de $C(x)$** : On remarque que $0{,}25 = \left(\frac{1}{2}\right)^2$. La forme $x^2 - x + \left(\frac{1}{2}\right)^2$ correspond à un carré parfait : $$C(x) = x^2 - x + \left(\frac{1}{2}\right)^2 = \left(x - \frac{1}{2}\right)^2$$ 3. **Étude du signe de $C(x)$** : Puisque $C(x)$ est un carré, il est toujours positif ou nul : $$C(x) \geq 0 \quad \text{pour tout } x$$ et $C(x) = 0$ uniquement lorsque $x = \frac{1}{2}$. 4. **Factorisation de $D(x)$** : $$D(x) = 2 - x^2 = -(x^2 - 2) = -(x - \sqrt{2})(x + \sqrt{2})$$ 5. **Étude du signe de $D(x)$** : Les racines sont $x = -\sqrt{2}$ et $x = \sqrt{2}$. - Pour $x < -\sqrt{2}$, $x^2 > 2$ donc $D(x) = 2 - x^2 < 0$. - Pour $-\sqrt{2} < x < \sqrt{2}$, $x^2 < 2$ donc $D(x) > 0$. - Pour $x > \sqrt{2}$, $x^2 > 2$ donc $D(x) < 0$. **Résumé** : - $C(x) = \left(x - \frac{1}{2}\right)^2 \geq 0$ pour tout $x$, nul en $x=\frac{1}{2}$. - $D(x) = -(x - \sqrt{2})(x + \sqrt{2})$ est positif entre $-\sqrt{2}$ et $\sqrt{2}$, négatif ailleurs.