1. Énoncé du problème : On a le polynôme $P(x) = x^3 - 2x^2 - 5x + 6$. On doit vérifier s'il est divisible par $x-1$, puis factoriser et résoudre $P(x) = 0$. 2. Vérification de la divisibilité par $x-1$ : Pour savoir si $P(x)$ est divisible par $x-1$, on utilise le théorème du reste qui dit que $P(1)$ doit être égal à 0. Calculons $P(1) = 1^3 - 2 \times 1^2 - 5 \times 1 + 6 = 1 - 2 - 5 + 6 = 0$. Donc, $P(x)$ est divisible par $x-1$. 3. Détermination de $\Phi(x)$ tel que $P(x) = (x-1) \Phi(x)$ : On effectue la division de $P(x)$ par $x-1$. Divisons : $$\frac{x^3 - 2x^2 - 5x + 6}{x-1} = x^2 - x - 6$$ Donc, $\Phi(x) = x^2 - x - 6$. 4. Vérification que 3 est racine de $\Phi(x)$ : Calculons $\Phi(3) = 3^2 - 3 - 6 = 9 - 3 - 6 = 0$. Donc, 3 est racine de $\Phi(x)$. 5. Factorisation de $\Phi(x)$ : On cherche deux nombres dont le produit est $-6$ et la somme $-1$. Ce sont $-3$ et $2$. Donc, $\Phi(x) = (x - 3)(x + 2)$. 6. Factorisation complète de $P(x)$ : $$P(x) = (x - 1)(x - 3)(x + 2)$$ 7. Résolution de l'équation $P(x) = 0$ : On résout chaque facteur égal à zéro : $$x - 1 = 0 \Rightarrow x = 1$$ $$x - 3 = 0 \Rightarrow x = 3$$ $$x + 2 = 0 \Rightarrow x = -2$$ Donc, les solutions sont $x = 1$, $x = 3$, et $x = -2$.