1. **Énoncé du problème :** Vérifier que le polynôme $P(x) = 2x^2 + 7x + 2$ peut s'écrire sous la forme factorisée $(x + 2)(2x + 1)$. 2. **Formule et règles importantes :** Pour factoriser un polynôme du second degré, on cherche deux binômes du premier degré dont le produit donne le polynôme initial. On utilise la distributivité : $$ (x + a)(bx + c) = b x^2 + (a b + c) x + a c $$ 3. **Travail intermédiaire :** Calculons le produit $(x + 2)(2x + 1)$ : $$ (x + 2)(2x + 1) = x \times 2x + x \times 1 + 2 \times 2x + 2 \times 1 = 2x^2 + x + 4x + 2 = 2x^2 + 5x + 2 $$ 4. **Comparaison avec $P(x)$ :** On a $2x^2 + 5x + 2$ alors que $P(x) = 2x^2 + 7x + 2$. Les expressions ne sont pas égales, donc $P(x) \neq (x + 2)(2x + 1)$. 5. **Vérification de la racine $x = -1$ :** Calculons $P(-1)$ : $$ P(-1) = 2(-1)^2 + 7(-1) + 2 = 2 - 7 + 2 = -3 $$ Ce n'est pas zéro, donc $-1$ n'est pas racine de $P$. 6. **Vérification de la racine $x = 2$ :** Calculons $P(2)$ : $$ P(2) = 2(2)^2 + 7(2) + 2 = 8 + 14 + 2 = 24 $$ Ce n'est pas zéro, donc $2$ n'est pas racine de $P$. 7. **Factorisation correcte de $P(x)$ :** Cherchons les racines de $P(x)$ en résolvant $2x^2 + 7x + 2 = 0$. Calcul du discriminant : $$ \Delta = 7^2 - 4 \times 2 \times 2 = 49 - 16 = 33 $$ Racines : $$ x = \frac{-7 \pm \sqrt{33}}{2 \times 2} = \frac{-7 \pm \sqrt{33}}{4} $$ 8. **Forme factorisée :** $$ P(x) = 2 \left(x - \frac{-7 + \sqrt{33}}{4}\right) \left(x - \frac{-7 - \sqrt{33}}{4}\right) $$ **Réponse finale :** Le polynôme $P(x)$ ne se factorise pas en $(x + 2)(2x + 1)$. Ses racines sont $x = \frac{-7 \pm \sqrt{33}}{4}$ et sa forme factorisée est $$ P(x) = 2 \left(x - \frac{-7 + \sqrt{33}}{4}\right) \left(x - \frac{-7 - \sqrt{33}}{4}\right) $$