1. Énoncé du problème : Factoriser dans $\mathbb{C}[X]$ puis dans $\mathbb{R}[X]$ le polynôme $$X^{2n} - 2 \cos(n\theta) X^n + 1$$ où $\theta \in \mathbb{R}$ et $n \geq 1$ est un entier. 2. Rappel de la formule utilisée : On reconnaît une forme proche d'un polynôme de la forme $$X^{2n} - 2aX^n + 1$$ qui peut s'écrire comme $$(X^n - e^{i n \theta})(X^n - e^{-i n \theta})$$ si $a = \cos(n\theta)$. 3. Factorisation dans $\mathbb{C}[X]$ : On utilise l'identité d'Euler $e^{i n \theta} = \cos(n\theta) + i \sin(n\theta)$. Le polynôme s'écrit donc : $$X^{2n} - 2 \cos(n\theta) X^n + 1 = (X^n - e^{i n \theta})(X^n - e^{-i n \theta})$$ Chaque facteur $X^n - e^{\pm i n \theta}$ se factorise en racines complexes : $$X^n - e^{i n \theta} = \prod_{k=0}^{n-1} \left(X - e^{i \left(\frac{n\theta + 2k\pi}{n}\right)}\right) = \prod_{k=0}^{n-1} \left(X - e^{i (\theta + \frac{2k\pi}{n})}\right)$$ De même pour $X^n - e^{-i n \theta}$. 4. Factorisation dans $\mathbb{R}[X]$ : Les racines complexes apparaissent par paires conjuguées. On regroupe donc les facteurs conjugués : Pour chaque $k$, on a le facteur quadratique : $$\left(X - e^{i (\theta + \frac{2k\pi}{n})}\right)\left(X - e^{-i (\theta + \frac{2k\pi}{n})}\right) = X^2 - 2 \cos\left(\theta + \frac{2k\pi}{n}\right) X + 1$$ Ainsi, la factorisation dans $\mathbb{R}[X]$ est : $$X^{2n} - 2 \cos(n\theta) X^n + 1 = \prod_{k=0}^{n-1} \left(X^2 - 2 \cos\left(\theta + \frac{2k\pi}{n}\right) X + 1\right)$$ 5. Conclusion : - Dans $\mathbb{C}[X]$ : $$X^{2n} - 2 \cos(n\theta) X^n + 1 = (X^n - e^{i n \theta})(X^n - e^{-i n \theta}) = \prod_{k=0}^{n-1} \left(X - e^{i (\theta + \frac{2k\pi}{n})}\right) \prod_{k=0}^{n-1} \left(X - e^{-i (\theta + \frac{2k\pi}{n})}\right)$$ - Dans $\mathbb{R}[X]$ : $$X^{2n} - 2 \cos(n\theta) X^n + 1 = \prod_{k=0}^{n-1} \left(X^2 - 2 \cos\left(\theta + \frac{2k\pi}{n}\right) X + 1\right)$$