1. **Énoncé du problème :** Nous avons une fonction définie par la table de valeurs : $$\begin{array}{c|cccccc} x & 2 & 6 & 10 & 12 & 15 & 25 \\ \hline f(x) & 21 & 13 & 5 & 1 & -5 & -25 \end{array}$$ Nous devons déterminer si les affirmations suivantes sont vraies ou fausses. 2. **a) La réciproque de cette fonction est une fonction.** - Pour que la réciproque soit une fonction, chaque valeur de $f(x)$ doit correspondre à une seule valeur de $x$ (injectivité). - Vérifions si $f(x)$ prend des valeurs distinctes : 21, 13, 5, 1, -5, -25 sont toutes différentes. - Donc, la fonction est injective et sa réciproque est bien une fonction. **Réponse a) : Vrai** 3. **b) La fonction représentée est linéaire.** - Une fonction linéaire a la forme $f(x) = mx + b$ avec un taux de variation constant $m$. - Calculons les taux de variation entre points successifs : - Entre $x=2$ et $x=6$ : $\frac{13 - 21}{6 - 2} = \frac{-8}{4} = -2$ - Entre $x=6$ et $x=10$ : $\frac{5 - 13}{10 - 6} = \frac{-8}{4} = -2$ - Entre $x=10$ et $x=12$ : $\frac{1 - 5}{12 - 10} = \frac{-4}{2} = -2$ - Entre $x=12$ et $x=15$ : $\frac{-5 - 1}{15 - 12} = \frac{-6}{3} = -2$ - Entre $x=15$ et $x=25$ : $\frac{-25 - (-5)}{25 - 15} = \frac{-20}{10} = -2$ - Le taux de variation est constant et égal à $-2$. **Réponse b) : Vrai** 4. **c) $f(-12) = 49$** - La fonction est définie uniquement pour les valeurs données de $x$. - Sans expression explicite, on ne peut pas calculer $f(-12)$. - De plus, la fonction semble linéaire avec pente $-2$ et passant par $(2,21)$. - Trouvons l'expression de la fonction : $$f(x) = m x + b$$ Avec $m = -2$, et $f(2) = 21$, donc $$21 = -2 \times 2 + b \Rightarrow 21 = -4 + b \Rightarrow b = 25$$ Donc, $$f(x) = -2x + 25$$ - Calculons $f(-12)$ : $$f(-12) = -2 \times (-12) + 25 = 24 + 25 = 49$$ **Réponse c) : Vrai** 5. **d) Le taux de variation est de -0,5.** - Comme calculé en (b), le taux de variation est $-2$, pas $-0,5$. **Réponse d) : Faux** **Résumé final :** - a) Vrai - b) Vrai - c) Vrai - d) Faux