1. **Énoncé du problème :** Déterminer l'expression analytique des fonctions du second degré f, g, h et k représentées graphiquement. 2. **Rappel des formes de fonctions quadratiques :** - Forme canonique : $f(x) = a(x - h)^2 + k$ où $(h,k)$ est le sommet. - Forme factorisée : $f(x) = a(x - x_1)(x - x_2)$ où $x_1$ et $x_2$ sont les racines. - Forme développée : $f(x) = ax^2 + bx + c$. 3. **Analyse de chaque fonction :** - $f(x)$ : - D'après l'énoncé, $f(x) = (x - 1)^2 + 2$. - C'est la forme canonique avec sommet en $(1,2)$. - $g(x)$ : - D'après l'énoncé, $g(x) = (x - 1)(x + 2)$. - C'est la forme factorisée avec racines $x=1$ et $x=-2$. - $h(x)$ : - D'après l'énoncé, $h(x) = x^2 - 2x + 1$. - C'est la forme développée. - On peut factoriser : $$h(x) = (x - 1)^2$$ - $k(x)$ : - D'après l'énoncé, $k(x) = x^2 + 1$. - Forme développée, pas de racines réelles. 4. **Vérification et simplification :** - Pour $g(x)$, développons : $$g(x) = (x - 1)(x + 2) = x^2 + 2x - x - 2 = x^2 + x - 2$$ - Pour $f(x)$, développons : $$f(x) = (x - 1)^2 + 2 = (x^2 - 2x + 1) + 2 = x^2 - 2x + 3$$ 5. **Conclusion :** - $f(x) = (x - 1)^2 + 2 = x^2 - 2x + 3$ - $g(x) = (x - 1)(x + 2) = x^2 + x - 2$ - $h(x) = x^2 - 2x + 1 = (x - 1)^2$ - $k(x) = x^2 + 1$ Ces expressions correspondent aux fonctions représentées graphiquement.