1. Énoncé du problème : Nous avons trois fonctions polynômes de degré 2, $f$, $g$ et $h$, représentées graphiquement avec leurs racines (zéros) indiquées. Nous devons déterminer la forme factorisée de chacune, c'est-à-dire exprimer chaque fonction sous la forme $a(x - x_1)(x - x_2)$ où $x_1$ et $x_2$ sont les racines. 2. Rappel de la forme factorisée : Pour un polynôme du second degré $ax^2 + bx + c$ avec racines $x_1$ et $x_2$, la forme factorisée est $$f(x) = a(x - x_1)(x - x_2)$$ 3. Analyse de chaque fonction : - Pour $h$ : Les racines sont $-5$ et $-3$. Le sommet est en $(-4, -1)$, ce qui indique que le coefficient $a$ est positif (parabole ouverte vers le haut). On peut écrire : $$h(x) = a(x + 5)(x + 3)$$ Pour trouver $a$, utilisons le sommet. Le sommet $x_s = -4$. Calculons $h(-4)$ : $$h(-4) = a(-4 + 5)(-4 + 3) = a(1)(-1) = -a$$ Or, $h(-4) = -1$, donc $$-a = -1 \Rightarrow a = 1$$ Donc $$h(x) = (x + 5)(x + 3)$$ - Pour $g$ : Les racines sont $1$ et $2$. Le sommet est en $(1.5, 1)$, parabole ouverte vers le haut donc $a > 0$. Forme factorisée : $$g(x) = a(x - 1)(x - 2)$$ Calculons $g(1.5)$ : $$g(1.5) = a(1.5 - 1)(1.5 - 2) = a(0.5)(-0.5) = -0.25a$$ Or, $g(1.5) = 1$, donc $$-0.25a = 1 \Rightarrow a = -4$$ Mais $a$ est négatif, ce qui contredit l'ouverture vers le haut observée. Il faut vérifier le signe. En fait, le sommet est à $y=1$ et la parabole est ouverte vers le haut, donc $a$ doit être positif. Le calcul montre $a$ négatif, donc il y a une erreur dans l'interprétation du sommet ou des racines. Reprenons : $$g(1.5) = a(0.5)(-0.5) = -0.25a$$ Si $g(1.5) = 1$, alors $$-0.25a = 1 \Rightarrow a = -4$$ Donc $a = -4$, parabole ouverte vers le bas. Cela contredit l'observation graphique. Supposons que le sommet est à $y = -1$ (erreur possible dans lecture), alors $$-0.25a = -1 \Rightarrow a = 4$$ Ce qui est cohérent avec une parabole ouverte vers le haut. Donc, en supposant $g(1.5) = -1$, on a $$g(x) = 4(x - 1)(x - 2)$$ - Pour $f$ : Les racines sont $0$ et $1$. Le sommet est en $(0.5, 1)$, parabole ouverte vers le bas donc $a < 0$. Forme factorisée : $$f(x) = a x (x - 1)$$ Calculons $f(0.5)$ : $$f(0.5) = a (0.5)(0.5 - 1) = a (0.5)(-0.5) = -0.25 a$$ Or, $f(0.5) = 1$, donc $$-0.25 a = 1 \Rightarrow a = -4$$ Donc $$f(x) = -4 x (x - 1)$$ 4. Résumé des formes factorisées : $$h(x) = (x + 5)(x + 3)$$ $$g(x) = 4 (x - 1)(x - 2)$$ $$f(x) = -4 x (x - 1)$$