1. Énonçons le problème : Montrer que pour tous réels $x, y$ et pour tout entier naturel $n$, on a la formule du binôme de Newton : $$ (x + y)^n = \sum_{k=0}^n \binom{n}{k} x^k y^{n-k} $$ 2. Rappelons la formule du coefficient binomial : $$ \binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!} $$ Cette formule donne le nombre de façons de choisir $k$ éléments parmi $n$. 3. La formule du binôme de Newton s'obtient par développement itératif ou par induction. Elle exprime que le développement de $(x+y)^n$ est la somme des termes où $x$ est élevé à la puissance $k$ et $y$ à la puissance $n-k$, multipliés par le coefficient binomial correspondant. 4. Pour comprendre, développons $(x+y)^n$ par induction : - Pour $n=0$, $(x+y)^0=1$ et la somme vaut $\binom{0}{0}x^0 y^0=1$. - Supposons la formule vraie pour $n$, montrons-la pour $n+1$ : $$ (x+y)^{n+1} = (x+y)(x+y)^n = (x+y) \sum_{k=0}^n \binom{n}{k} x^k y^{n-k} $$ 5. En développant : $$ = \sum_{k=0}^n \binom{n}{k} x^{k+1} y^{n-k} + \sum_{k=0}^n \binom{n}{k} x^k y^{n-k+1} $$ 6. Changeons l'indice dans la première somme en posant $j=k+1$ : $$ = \sum_{j=1}^{n+1} \binom{n}{j-1} x^j y^{n+1-j} + \sum_{k=0}^n \binom{n}{k} x^k y^{n+1-k} $$ 7. En regroupant les termes de même puissance $x^k y^{n+1-k}$, on obtient : $$ (x+y)^{n+1} = x^{n+1} + \sum_{k=1}^n \left( \binom{n}{k-1} + \binom{n}{k} \right) x^k y^{n+1-k} + y^{n+1} $$ 8. Or, la relation de Pascal dit que : $$ \binom{n+1}{k} = \binom{n}{k-1} + \binom{n}{k} $$ 9. Donc, on retrouve la formule du binôme pour $n+1$ : $$ (x+y)^{n+1} = \sum_{k=0}^{n+1} \binom{n+1}{k} x^k y^{n+1-k} $$ 10. Ainsi, par récurrence, la formule est démontrée pour tout $n \in \mathbb{N}$. **Réponse finale :** $$ (x + y)^n = \sum_{k=0}^n \binom{n}{k} x^k y^{n-k} $$