1. Le problème est de comprendre ce qu'est une structure mathématique, en particulier un groupe, et les propriétés associées. 2. Une structure mathématique est un ensemble $E$ muni d'une ou plusieurs opérations internes, c'est-à-dire des règles qui associent à deux éléments de $E$ un autre élément de $E$. 3. Un groupe $(E, *)$ est une structure où l'opération $*$ est associative, il existe un élément neutre $e$ dans $E$ tel que pour tout $a \in E$, $a * e = e * a = a$, et chaque élément $a$ a un symétrique $a^{-1}$ dans $E$ tel que $a * a^{-1} = a^{-1} * a = e$. 4. Si l'opération $*$ est aussi commutative ($a * b = b * a$), alors le groupe est dit abélien. 5. Exemple : - $(\mathbb{N}, +)$ n'est pas un groupe car la soustraction n'est pas associative et il n'y a pas d'élément neutre pour la soustraction. - Pour $E = \{-1, 0, 1\}$, l'ensemble $E$ avec l'addition $(E, +)$ n'est pas un groupe car $1 + 1 = 2 \notin E$ (l'opération n'est pas interne). - Avec la multiplication $(E, \cdot)$, ce n'est pas un groupe car $0$ n'a pas d'inverse (symétrique). 6. La table de loi donnée pour $\{-1, 1\}$ avec la multiplication est : $$\begin{array}{c|cc} * & -1 & 1 \\ \hline -1 & 1 & -1 \\ 1 & -1 & 1 \end{array}$$ Cette table montre que la multiplication est associative, possède un élément neutre (1), et chaque élément a un inverse (symétrique), donc $(\{-1,1\}, \cdot)$ est un groupe abélien. 7. Le diagramme "symétrique" illustre que $-1$ et $1$ sont symétriques l'un de l'autre par rapport à $0$. En résumé, un groupe est un ensemble avec une opération interne associative, un élément neutre, et où chaque élément a un inverse. Si l'opération est aussi commutative, le groupe est abélien.