1. Énonçons le problème : Montrer que pour tout $a \neq 0$, on a $a^2 + \frac{1}{a^2} \geq 2$. 2. Utilisons la formule de l'inégalité de Cauchy-Schwarz ou l'inégalité entre moyennes quadratique et arithmétique. Une méthode simple est de partir de l'expression $(a - \frac{1}{a})^2 \geq 0$ car un carré est toujours positif ou nul. 3. Développons cette expression : $$ \left(a - \frac{1}{a}\right)^2 = a^2 - 2 + \frac{1}{a^2} \geq 0 $$ 4. En réarrangeant, on obtient : $$ a^2 + \frac{1}{a^2} \geq 2 $$ 5. Cette inégalité est donc démontrée pour tout $a \neq 0$. C'est une inégalité classique qui exprime que la somme des carrés d'un nombre et de son inverse est toujours au moins égale à 2.