1. **Énoncé du problème :** Montrer que $3a^2 + 8\sqrt{3} a \geq -16$. 2. **Formule et règles importantes :** Nous allons manipuler l'expression quadratique $3a^2 + 8\sqrt{3} a + 16 \geq 0$ (en ajoutant 16 des deux côtés). Une expression quadratique $Ax^2 + Bx + C$ est toujours positive ou nulle si son discriminant $\Delta = B^2 - 4AC \leq 0$. 3. **Travail intermédiaire :** Posons $f(a) = 3a^2 + 8\sqrt{3} a + 16$. Calcul du discriminant : $$\Delta = (8\sqrt{3})^2 - 4 \times 3 \times 16 = 64 \times 3 - 192 = 192 - 192 = 0$$ 4. **Interprétation :** Le discriminant est nul, donc $f(a)$ est un polynôme du second degré qui ne s'annule qu'en un point et est toujours positif ou nul. 5. **Conclusion :** Ainsi, pour tout $a$, $$3a^2 + 8\sqrt{3} a + 16 \geq 0 \implies 3a^2 + 8\sqrt{3} a \geq -16$$ Ce qui montre l'inégalité demandée.