1. Énoncé du problème : Résoudre les inéquations a) $x^2 \geq 9$ et b) $\frac{1}{x} \leq 5$ en utilisant la représentation graphique des fonctions de référence. 2. Pour a) $x^2 \geq 9$ : - La fonction de référence est $y = x^2$. - On cherche les valeurs de $x$ telles que $x^2$ soit supérieur ou égal à 9. - Graphiquement, cela correspond aux parties de la parabole au-dessus ou sur la droite $y=9$. 3. Résolution de a) : - On écrit $x^2 \geq 9$. - Cela équivaut à $x^2 - 9 \geq 0$. - Factorisation : $x^2 - 9 = (x-3)(x+3)$. - L'inéquation devient $(x-3)(x+3) \geq 0$. 4. Étude du signe : - Le produit est positif ou nul si les deux facteurs sont positifs ou les deux négatifs. - Donc, $x-3 \geq 0$ et $x+3 \geq 0$ soit $x \geq 3$. - Ou $x-3 \leq 0$ et $x+3 \leq 0$ soit $x \leq -3$. 5. Solution de a) : $$x \leq -3 \quad \text{ou} \quad x \geq 3$$ 6. Pour b) $\frac{1}{x} \leq 5$ : - La fonction de référence est $y = \frac{1}{x}$. - On cherche les valeurs de $x$ telles que $\frac{1}{x} \leq 5$. - Attention, $x \neq 0$ car division par zéro impossible. 7. Résolution de b) : - Multiplier les deux côtés par $x$ en considérant le signe de $x$. - Si $x > 0$, alors $\frac{1}{x} \leq 5 \Rightarrow 1 \leq 5x \Rightarrow \frac{1}{5} \leq x$. - Si $x < 0$, multiplier par $x$ change le sens de l'inégalité : $1 \geq 5x$. - Comme $x < 0$, $5x < 0$, donc $1 \geq 5x$ est toujours vrai. 8. Solution de b) : - Pour $x > 0$, $x \geq \frac{1}{5}$. - Pour $x < 0$, toute valeur est solution. - Donc $x < 0$ ou $x \geq \frac{1}{5}$. 9. Résumé final : - a) $x \leq -3$ ou $x \geq 3$. - b) $x < 0$ ou $x \geq \frac{1}{5}$.