1. **Énoncé du problème :** Résoudre sur $\mathbb{R}$ les inéquations-produits suivantes : e. $(x + 2)^2 > (4x - 3)^2$ f. $x^3 \leq x^2$ 2. **Formules et règles importantes :** - Pour résoudre une inéquation de la forme $A > B$, on peut écrire $A - B > 0$. - Pour les inéquations produits, on étudie le signe de chaque facteur et on utilise un tableau de signes. - Pour les puissances paires, comme $(x+2)^2$, le terme est toujours positif ou nul. --- ### e. Résolution de $(x + 2)^2 > (4x - 3)^2$ 3. On commence par écrire : $$ (x + 2)^2 > (4x - 3)^2 \iff (x + 2)^2 - (4x - 3)^2 > 0 $$ 4. Utilisons la différence de carrés : $$ (a^2 - b^2) = (a - b)(a + b) $$ Donc : $$ [(x + 2) - (4x - 3)] \times [(x + 2) + (4x - 3)] > 0 $$ 5. Calculons chaque facteur : $$ (x + 2) - (4x - 3) = x + 2 - 4x + 3 = -3x + 5 $$ $$ (x + 2) + (4x - 3) = x + 2 + 4x - 3 = 5x - 1 $$ 6. L'inéquation devient : $$ (-3x + 5)(5x - 1) > 0 $$ 7. Trouvons les racines : $$ -3x + 5 = 0 \Rightarrow x = \frac{5}{3} $$ $$ 5x - 1 = 0 \Rightarrow x = \frac{1}{5} $$ 8. Étudions le signe de chaque facteur sur la droite réelle : - Pour $-3x + 5$, le signe change en $x=\frac{5}{3}$. - Pour $5x - 1$, le signe change en $x=\frac{1}{5}$. 9. Tableau de signes : | Intervalle | $(-\infty, \frac{1}{5})$ | $(\frac{1}{5}, \frac{5}{3})$ | $(\frac{5}{3}, +\infty)$ | |--------------------|----------------------------|-------------------------------|--------------------------| | $-3x + 5$ | + | + | - | | $5x - 1$ | - | + | + | | Produit | - | + | - | 10. L'inéquation demande que le produit soit strictement positif, donc : $$ (-3x + 5)(5x - 1) > 0 \Rightarrow x \in \left(\frac{1}{5}, \frac{5}{3}\right) $$ --- ### f. Résolution de $x^3 \leq x^2$ 11. On écrit : $$ x^3 \leq x^2 \iff x^3 - x^2 \leq 0 $$ 12. Factorisons : $$ x^2(x - 1) \leq 0 $$ 13. Étudions le signe de chaque facteur : - $x^2 \geq 0$ pour tout $x$, et $x^2 = 0$ si $x=0$. - $x - 1$ change de signe en $x=1$. 14. Tableau de signes : | Intervalle | $(-\infty, 0)$ | $0$ | $(0, 1)$ | $1$ | $(1, +\infty)$ | |--------------------|-----------------|-----|----------|-----|-----------------| | $x^2$ | + | 0 | + | + | + | | $x - 1$ | - | - | - | 0 | + | | Produit $x^2(x-1)$ | - | 0 | + | 0 | + | 15. L'inéquation demande $x^2(x-1) \leq 0$, donc on prend les intervalles où le produit est négatif ou nul : $$ x^2(x-1) \leq 0 \Rightarrow x \in (-\infty, 0] \cup \{1\} $$ --- **Réponses finales :** - e. $x \in \left(\frac{1}{5}, \frac{5}{3}\right)$ - f. $x \in (-\infty, 0] \cup \{1\}$