1. **Énoncé du problème :** Montrer que la loi \( x \star y := x + y - axy \) est associative et qu'elle admet un élément neutre. 2. **Formule et règles importantes :** Pour une loi \( \star \) sur \( \mathbb{R} \), l'associativité signifie que \( (x \star y) \star z = x \star (y \star z) \) pour tous \( x,y,z \in \mathbb{R} \). L'élément neutre \( e \) vérifie \( x \star e = e \star x = x \) pour tout \( x \). 3. **Calcul de l'associativité :** \[ (x \star y) \star z = (x + y - axy) \star z = (x + y - axy) + z - a(x + y - axy)z \] \[ = x + y - axy + z - a x z - a y z + a^2 x y z \] De même, \[ x \star (y \star z) = x \star (y + z - a y z) = x + (y + z - a y z) - a x (y + z - a y z) \] \[ = x + y + z - a y z - a x y - a x z + a^2 x y z \] On constate que \[ (x \star y) \star z = x \star (y \star z) = x + y + z - a x y - a y z - a x z + a^2 x y z \] Donc la loi \( \star \) est associative. 4. **Recherche de l'élément neutre \( e \) :** \[ x \star e = x + e - a x e = x \implies e - a x e = 0 \implies e(1 - a x) = 0 \] Pour que cela soit vrai pour tout \( x \), il faut \( e = 0 \). Vérification : \[ x \star 0 = x + 0 - a x \cdot 0 = x \quad \text{et} \quad 0 \star x = 0 + x - a \cdot 0 \cdot x = x \] Donc \( e = 0 \) est l'élément neutre. **Réponse finale :** La loi \( \star \) est associative et son élément neutre est \( 0 \).