1. **Énoncé du problème :** Nous avons une installation composée de trois paliers de 1,5 m chacun, séparés par deux courbes paraboliques. - Les deux premiers paliers ont une hauteur de 2 m. - Le troisième palier a une hauteur de 1,3 m. - Les axes de symétrie des paraboles sont distants de 7 m. - La distance entre les deux premiers paliers est de 5 m. - En entrant dans la première parabole, on descend de 1,2 m après un déplacement horizontal de 1 m. - Le sommet de la deuxième parabole est 4 fois plus haut que celui de la première parabole. On cherche la longueur totale de l'installation au centimètre près. 2. **Modélisation et formules :** Chaque parabole peut être modélisée par une fonction quadratique $y = a(x - h)^2 + k$ où $(h,k)$ est le sommet. - Pour la première parabole, le sommet est $(h_1,k_1)$. - Pour la deuxième parabole, le sommet est $(h_2,k_2)$ avec $k_2 = 4k_1$. 3. **Données et hypothèses :** - Les paliers mesurent chacun 1,5 m horizontalement. - La distance entre les axes des paraboles est 7 m, donc $h_2 = h_1 + 7$. - La distance entre les deux premiers paliers est 5 m. - En entrant dans la première parabole, à $x = h_1 + 1$, la hauteur descend de 1,2 m par rapport au sommet. 4. **Détermination des sommets :** Posons le sommet de la première parabole en $x = 0$ pour simplifier, donc $h_1 = 0$. Alors $h_2 = 7$. Le sommet de la première parabole est $(0,k_1)$. Le sommet de la deuxième parabole est $(7,k_2)$ avec $k_2 = 4k_1$. 5. **Première parabole :** Forme : $$y_1 = a_1 (x - 0)^2 + k_1 = a_1 x^2 + k_1$$ À $x=1$, la hauteur descend de 1,2 m par rapport au sommet, donc: $$y_1(1) = k_1 - 1.2$$ Calculons : $$a_1 (1)^2 + k_1 = k_1 - 1.2 \Rightarrow a_1 = -1.2$$ Donc : $$y_1 = -1.2 x^2 + k_1$$ 6. **Hauteur au bord du premier palier :** Le premier palier mesure 1,5 m horizontalement, donc à $x=1.5$ : $$y_1(1.5) = -1.2 (1.5)^2 + k_1 = -1.2 \times 2.25 + k_1 = -2.7 + k_1$$ La hauteur du premier palier est 2 m, donc : $$y_1(1.5) = 2$$ D'où : $$-2.7 + k_1 = 2 \Rightarrow k_1 = 4.7$$ 7. **Deuxième parabole :** Le sommet est $(7, k_2)$ avec $k_2 = 4 k_1 = 4 \times 4.7 = 18.8$. Forme : $$y_2 = a_2 (x - 7)^2 + 18.8$$ 8. **Hauteur au bord du deuxième palier :** Le deuxième palier mesure 1,5 m, donc à $x=7 + 1.5 = 8.5$ : La hauteur est 2 m (même que le deuxième palier). Donc : $$y_2(8.5) = 2 = a_2 (8.5 - 7)^2 + 18.8 = a_2 (1.5)^2 + 18.8 = 2.25 a_2 + 18.8$$ D'où : $$2.25 a_2 = 2 - 18.8 = -16.8 \Rightarrow a_2 = \frac{-16.8}{2.25} = -7.4667$$ 9. **Troisième palier :** Le troisième palier mesure 1,5 m horizontalement et a une hauteur de 1,3 m. 10. **Calcul de la longueur totale :** - Premier palier : 1,5 m - Distance entre les deux premiers paliers : 5 m - Deuxième palier : 1,5 m - Distance entre les axes des paraboles : 7 m - Troisième palier : 1,5 m La longueur totale est la somme des paliers et des distances entre eux. La distance entre les deux premiers paliers est donnée comme 5 m. La distance entre les axes des paraboles est 7 m, ce qui correspond à la distance entre le deuxième et le troisième palier. Donc la longueur totale est : $$1.5 + 5 + 1.5 + 7 + 1.5 = 16.5\, m$$ 11. **Conversion en centimètres :** $$16.5\, m = 1650\, cm$$ **Réponse finale :** La longueur totale de l'installation est de **1650 cm** au centimètre près.