1. Énoncé du problème : Écrire une matrice $M$ d'ordre 2 notée $M = (m_{ij})_{i,j}$ avec les termes diagonaux égaux à $a^2$, $m_{1,2} = a^2 - 1$ et $m_{2,1} = 2a + 2$. Puis déterminer la valeur réelle de $a$ pour que $M$ soit la matrice identité $I_2$. 2. Écriture de la matrice $M$ : $$M = \begin{pmatrix} m_{1,1} & m_{1,2} \\ m_{2,1} & m_{2,2} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a^2 & a^2 - 1 \\ 2a + 2 & a^2 \end{pmatrix}$$ 3. Rappel : La matrice identité $I_2$ est $$I_2 = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$$ 4. Pour que $M = I_2$, il faut que chaque terme correspondant soit égal : - $m_{1,1} = a^2 = 1$ - $m_{1,2} = a^2 - 1 = 0$ - $m_{2,1} = 2a + 2 = 0$ - $m_{2,2} = a^2 = 1$ 5. Résolvons ces équations : - De $a^2 = 1$, on obtient $a = \pm 1$ - De $a^2 - 1 = 0$, on a aussi $a^2 = 1$, donc $a = \pm 1$ - De $2a + 2 = 0$, on a $2a = -2$ donc $a = -1$ 6. Conclusion : La seule valeur de $a$ qui satisfait toutes les conditions est $$a = -1$$ 7. Vérification : - $a^2 = (-1)^2 = 1$ - $a^2 - 1 = 1 - 1 = 0$ - $2a + 2 = 2(-1) + 2 = -2 + 2 = 0$ Donc la matrice $M$ devient $$M = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = I_2$$ Réponse finale : $a = -1$