1. **Énoncé du problème :** Nous avons quatre opérations algébriques impliquant des expressions rationnelles. Le but est d'identifier un motif dans la simplification des opérations 1 à 3, puis de déterminer le dénominateur manquant dans l'opération 4 pour continuer ce motif. 2. **Rappel des règles importantes :** - Pour simplifier une fraction algébrique, factorisez numérateur et dénominateur. - Annulez les facteurs communs entre numérateur et dénominateur. - Le dénominateur ne peut jamais être zéro, donc exclure les valeurs qui annulent le dénominateur. 3. **Analyse de l'Opération 1 :** $$\frac{x^2 + 3x + 2}{x + 2} \cdot \frac{(4x + 1)^2}{16x^2 + 8x + 1}$$ Factorisons : - $x^2 + 3x + 2 = (x + 1)(x + 2)$ - $16x^2 + 8x + 1 = (4x + 1)^2$ Donc : $$\frac{(x + 1)(x + 2)}{x + 2} \cdot \frac{(4x + 1)^2}{(4x + 1)^2}$$ Annulation des facteurs communs : $$\frac{\cancel{(x + 1)}\cancel{(x + 2)}}{\cancel{x + 2}} \cdot \frac{\cancel{(4x + 1)^2}}{\cancel{(4x + 1)^2}} = x + 1$$ 4. **Analyse de l'Opération 2 :** $$\frac{(x^2 + 4x + 3)(x + 4)}{x^2 + 7x + 12}$$ Factorisons : - $x^2 + 4x + 3 = (x + 1)(x + 3)$ - $x^2 + 7x + 12 = (x + 3)(x + 4)$ Donc : $$\frac{(x + 1)(x + 3)(x + 4)}{(x + 3)(x + 4)}$$ Annulation des facteurs communs : $$\frac{(x + 1)\cancel{(x + 3)}\cancel{(x + 4)}}{\cancel{(x + 3)}\cancel{(x + 4)}} = x + 1$$ 5. **Analyse de l'Opération 3 :** $$\frac{2x^2 - 9x - 5}{4x^2 - 1} \cdot \frac{2x^2 + 3x - 2}{x - 5}$$ Factorisons chaque polynôme : - $2x^2 - 9x - 5 = (2x + 1)(x - 5)$ - $4x^2 - 1 = (2x - 1)(2x + 1)$ - $2x^2 + 3x - 2 = (2x - 1)(x + 2)$ Donc : $$\frac{(2x + 1)(x - 5)}{(2x - 1)(2x + 1)} \cdot \frac{(2x - 1)(x + 2)}{x - 5}$$ Annulation des facteurs communs : $$\frac{\cancel{(2x + 1)}\cancel{(x - 5)}}{(2x - 1)\cancel{(2x + 1)}} \cdot \frac{(2x - 1)(x + 2)}{\cancel{x - 5}} = \frac{1}{(2x - 1)} \cdot (2x - 1)(x + 2) = x + 2$$ 6. **Observation du motif :** - Opération 1 simplifiée : $x + 1$ - Opération 2 simplifiée : $x + 1$ - Opération 3 simplifiée : $x + 2$ 7. **Opération 4 :** On a : $$\frac{2x^2 + 11x + 15}{?}$$ Factorisons le numérateur : $$2x^2 + 11x + 15 = (2x + 5)(x + 3)$$ Pour continuer le motif, on cherche un dénominateur qui, en simplifiant la fraction, donne $x + 2$ (comme dans l'opération 3). 8. **Hypothèse :** Si on choisit le dénominateur comme $(2x + 5)$, alors : $$\frac{(2x + 5)(x + 3)}{2x + 5} = x + 3$$ Ce n'est pas $x + 2$. Si on choisit le dénominateur comme $(x + 3)$, alors : $$\frac{(2x + 5)(x + 3)}{x + 3} = 2x + 5$$ Ce n'est pas $x + 2$. 9. **Autre approche :** Le motif semble être que la simplification donne une expression linéaire proche de $x + 1$ ou $x + 2$. Essayons un dénominateur qui permet d'obtenir $x + 2$ après simplification : Supposons le dénominateur $2x + 5$ multiplié par un facteur $k$ tel que : $$\frac{(2x + 5)(x + 3)}{k(2x + 5)} = x + 2$$ Cela implique : $$\frac{(2x + 5)(x + 3)}{k(2x + 5)} = \frac{x + 3}{k} = x + 2$$ Donc : $$\frac{x + 3}{k} = x + 2 \Rightarrow k = \frac{x + 3}{x + 2}$$ Ce n'est pas un polynôme, donc pas un dénominateur valide. 10. **Conclusion :** Le dénominateur manquant est probablement $(x + 3)$ pour que la simplification donne $2x + 5$, ce qui continue le motif d'expressions linéaires simples. **Réponse finale :** Le dénominateur manquant dans l'opération 4 est **$x + 3$**.