1. **Énoncé du problème :** Considérons la fonction $f(x) = 4x^2 - 8x - 5$. Nous allons analyser sa parabole : concavité, axe de symétrie, sommet, zéros, ordonnée à l'origine, points supplémentaires. 2. **Formule et règles importantes :** - La fonction est une parabole de la forme $ax^2 + bx + c$. - La concavité dépend du signe de $a$. - L'axe de symétrie est donné par $x = -\frac{b}{2a}$. - Le sommet a pour coordonnées $\left(-\frac{b}{2a}, f\left(-\frac{b}{2a}\right)\right)$. - Les zéros sont les solutions de $4x^2 - 8x - 5 = 0$. - L'ordonnée à l'origine est $f(0) = c$. 3. **a) Concavité :** - Ici, $a = 4 > 0$, donc la parabole est **concave vers le haut**. 4. **b) Axe de symétrie :** $$ x = -\frac{b}{2a} = -\frac{-8}{2 \times 4} = \frac{8}{8} = 1 $$ 5. **c) Coordonnées du sommet :** Calculons $f(1)$ : $$ f(1) = 4(1)^2 - 8(1) - 5 = 4 - 8 - 5 = -9 $$ Donc le sommet est $S(1, -9)$. 6. **d) Zéros de $f$ :** Résolvons $4x^2 - 8x - 5 = 0$. Calcul du discriminant : $$ \Delta = b^2 - 4ac = (-8)^2 - 4 \times 4 \times (-5) = 64 + 80 = 144 $$ Racines : $$ x = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{8 \pm 12}{8} $$ - Pour $+$ : $$ x_1 = \frac{8 + 12}{8} = \frac{20}{8} = 2.5 $$ - Pour $-$ : $$ x_2 = \frac{8 - 12}{8} = \frac{-4}{8} = -0.5 $$ Les zéros sont donc $x = 2.5$ et $x = -0.5$. 7. **e) Ordonnée à l'origine :** $$ f(0) = -5 $$ 8. **f) Points supplémentaires :** Choisissons $x = 0.5, 1.5$ pour avoir des points symétriques autour de l'axe $x=1$. - $f(0.5) = 4(0.5)^2 - 8(0.5) - 5 = 4(0.25) - 4 - 5 = 1 - 4 - 5 = -8$ - $f(1.5) = 4(1.5)^2 - 8(1.5) - 5 = 4(2.25) - 12 - 5 = 9 - 12 - 5 = -8$ Points supplémentaires : $(0.5, -8)$ et $(1.5, -8)$. 9. **g) Représentation graphique :** La parabole est symétrique par rapport à l'axe $x=1$, passe par les points calculés, avec sommet en $(1, -9)$. **Réponses finales :** - a) Concavité : vers le haut - b) Axe de symétrie : $x=1$ - c) Sommet : $(1, -9)$ - d) Zéros : $x = -0.5$ et $x = 2.5$ - e) Ordonnée à l'origine : $-5$ - f) Points supplémentaires : $(0.5, -8)$ et $(1.5, -8)$