1. **Énoncé du problème** : Déterminer l'expression analytique de la fonction représentée par une parabole qui s'ouvre vers le bas, avec un sommet approximatif en $ (3,1) $, et des racines proches de $ 2{,}2 $ et $ 3{,}8 $. 2. **Formule générale d'une parabole** : Une fonction quadratique peut s'écrire sous la forme canonique $$ f(x) = a(x - h)^2 + k $$ où $ (h,k) $ est le sommet de la parabole et $ a $ détermine l'ouverture et la concavité. 3. **Données du sommet** : Ici, $ h = 3 $ et $ k = 1 $, donc $$ f(x) = a(x - 3)^2 + 1 $$ 4. **Utilisation des racines pour trouver $a$** : Les racines sont approximativement $ x_1 = 2{,}2 $ et $ x_2 = 3{,}8 $. La forme factorisée est $$ f(x) = a(x - x_1)(x - x_2) = a(x - 2{,}2)(x - 3{,}8) $$ 5. **Relation entre forme canonique et factorisée** : Le sommet $ h $ est la moyenne des racines, $$ h = \frac{x_1 + x_2}{2} = \frac{2{,}2 + 3{,}8}{2} = 3 $$ ce qui confirme la cohérence. 6. **Trouver $a$ en utilisant un point connu** : Le point $ (2, -1) $ appartient à la parabole, donc $$ f(2) = a(2 - 3)^2 + 1 = -1 $$ $$ a( -1 )^2 + 1 = -1 $$ $$ a + 1 = -1 $$ $$ a = -2 $$ 7. **Expression finale** : $$ f(x) = -2(x - 3)^2 + 1 $$ 8. **Vérification rapide** : - Pour $ x = 2 $, $$ f(2) = -2(2 - 3)^2 + 1 = -2(1)^2 + 1 = -2 + 1 = -1 $$ - Pour $ x = 4 $, $$ f(4) = -2(4 - 3)^2 + 1 = -2(1)^2 + 1 = -1 $$ Les points correspondent bien à la parabole donnée. **Réponse finale** : $$ \boxed{f(x) = -2(x - 3)^2 + 1} $$