1. Énonçons le problème : Trouver l'expression analytique d'une parabole qui s'ouvre vers le bas, avec un sommet approximatif en $(3,1)$ et des racines proches de $2.2$ et $3.8$. 2. La forme canonique d'une parabole est $$y = a(x - h)^2 + k$$ où $(h,k)$ est le sommet. 3. Ici, le sommet est $(3,1)$, donc $$y = a(x - 3)^2 + 1$$. 4. Puisque la parabole s'ouvre vers le bas, $a < 0$. 5. Utilisons une racine pour trouver $a$. Par exemple, la racine $x = 2.2$ satisfait $y=0$ : $$0 = a(2.2 - 3)^2 + 1$$ $$0 = a(-0.8)^2 + 1$$ $$0 = a(0.64) + 1$$ 6. Isolons $a$ : $$a(0.64) = -1$$ $$a = \frac{-1}{0.64}$$ 7. Montrons la simplification avec annulation : $$a = \frac{-1}{\cancel{0.64}}$$ 8. Calculons la valeur exacte : $$a \approx -1.5625$$ 9. L'expression analytique est donc : $$y = -1.5625(x - 3)^2 + 1$$ 10. Vérifions avec l'autre racine $x=3.8$ : $$y = -1.5625(3.8 - 3)^2 + 1 = -1.5625(0.8)^2 + 1 = -1.5625(0.64) + 1 = -1 + 1 = 0$$ Ce qui confirme la validité de l'expression.