1. **Problème 1 : Remplir le tableau pour les équations quadratiques** Nous avons trois fonctions quadratiques : - $y = x^2 - 5$ - $y = -3x^2 + 4x + 6$ - $y = 0,25x^2 + 2x$ Pour chaque fonction, nous devons déterminer : - L'orientation de la parabole (ouverte vers le haut ou vers le bas) - L'ordonnée à l'origine (valeur de $y$ quand $x=0$) - La deuxième différence (constante pour une fonction quadratique) **Rappel important :** - L'orientation dépend du coefficient de $x^2$ : si positif, parabole ouverte vers le haut; si négatif, vers le bas. - L'ordonnée à l'origine est la valeur de $y$ quand $x=0$, donc c'est la constante dans l'équation. - La deuxième différence est égale à $2a$ où $a$ est le coefficient de $x^2$ dans $y = ax^2 + bx + c$. --- **Pour $y = x^2 - 5$ :** - Coefficient de $x^2$ est $1$ (positif), donc parabole ouverte vers le haut. - Ordonnée à l'origine : $y(0) = 0^2 - 5 = -5$. - Deuxième différence : $2 \times 1 = 2$. **Pour $y = -3x^2 + 4x + 6$ :** - Coefficient de $x^2$ est $-3$ (négatif), donc parabole ouverte vers le bas. - Ordonnée à l'origine : $y(0) = 6$. - Deuxième différence : $2 \times (-3) = -6$. **Pour $y = 0,25x^2 + 2x$ :** - Coefficient de $x^2$ est $0,25$ (positif), donc parabole ouverte vers le haut. - Ordonnée à l'origine : $y(0) = 0$ (pas de terme constant). - Deuxième différence : $2 \times 0,25 = 0,5$. --- 2. **Problème 2 : Déterminer l'équation de la fonction à partir de la table de valeurs** Table donnée : \begin{array}{c|c} x & y \\\hline -1 & 8 \\ 0 & -1 \\ 1 & -6 \\ 2 & -7 \\ 3 & -4 \\ 4 & 3 \\ \end{array} Nous cherchons une fonction quadratique $y = ax^2 + bx + c$. **Étapes :** 1. Calculer les premières différences $\Delta y$ : $\Delta y$ entre $x=-1$ et $x=0$ : $-1 - 8 = -9$ $\Delta y$ entre $x=0$ et $x=1$ : $-6 - (-1) = -5$ $\Delta y$ entre $x=1$ et $x=2$ : $-7 - (-6) = -1$ $\Delta y$ entre $x=2$ et $x=3$ : $-4 - (-7) = 3$ $\Delta y$ entre $x=3$ et $x=4$ : $3 - (-4) = 7$ 2. Calculer les secondes différences $\Delta^2 y$ : Entre $-9$ et $-5$ : $-5 - (-9) = 4$ Entre $-5$ et $-1$ : $-1 - (-5) = 4$ Entre $-1$ et $3$ : $3 - (-1) = 4$ Entre $3$ et $7$ : $7 - 3 = 4$ Les secondes différences sont constantes et égales à 4. 3. La deuxième différence est égale à $2a$, donc: $$2a = 4 \Rightarrow a = 2$$ 4. Utiliser les points pour trouver $b$ et $c$. Avec $x=0$, $y=-1$ donc: $$y = a x^2 + b x + c \Rightarrow -1 = 2 \times 0^2 + b \times 0 + c \Rightarrow c = -1$$ 5. Utiliser un autre point, par exemple $x=1$, $y=-6$: $$-6 = 2 \times 1^2 + b \times 1 + (-1)$$ $$-6 = 2 + b - 1$$ $$-6 = 1 + b$$ $$b = -7$$ 6. Vérification avec $x=2$, $y=-7$: $$y = 2 \times 2^2 - 7 \times 2 - 1 = 2 \times 4 - 14 - 1 = 8 - 14 - 1 = -7$$ C'est correct. **Conclusion :** L'équation est: $$y = 2x^2 - 7x - 1$$