1. Énonçons le problème : Étudier la fonction $f(x) = 4x^2 - 8x - 5$ qui est une parabole. 2. La forme générale d'une parabole est $f(x) = ax^2 + bx + c$. 3. a) Concavité : Le coefficient $a=4$ est positif, donc la parabole est convexe (ouverte vers le haut). 4. b) Axe de symétrie : La formule est $x = -\frac{b}{2a}$. Calculons : $$x = -\frac{-8}{2 \times 4} = \frac{8}{8} = 1$$ 5. c) Sommet : Les coordonnées sont $(x_s, y_s)$ avec $x_s = 1$ et $$y_s = f(1) = 4(1)^2 - 8(1) - 5 = 4 - 8 - 5 = -9$$ Donc le sommet est $(1, -9)$. 6. d) Zéros de $f$ : Résolvons $4x^2 - 8x - 5 = 0$. Calcul du discriminant : $$\Delta = b^2 - 4ac = (-8)^2 - 4 \times 4 \times (-5) = 64 + 80 = 144$$ Racines : $$x = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{8 \pm 12}{8}$$ Donc : $$x_1 = \frac{8 - 12}{8} = \frac{-4}{8} = -\frac{1}{2}$$ $$x_2 = \frac{8 + 12}{8} = \frac{20}{8} = \frac{5}{2}$$ 7. e) Ordonnée à l'origine : $f(0) = 4 \times 0 - 8 \times 0 - 5 = -5$. 8. f) Points supplémentaires : Calculons $f(2)$ et $f(0.5)$ pour avoir des points symétriques par rapport à l'axe. $$f(2) = 4(2)^2 - 8(2) - 5 = 16 - 16 - 5 = -5$$ $$f(0.5) = 4(0.5)^2 - 8(0.5) - 5 = 4(0.25) - 4 - 5 = 1 - 4 - 5 = -8$$ 9. g) La fonction est représentée par une parabole ouverte vers le haut avec sommet en $(1, -9)$, axe de symétrie $x=1$, zéros en $x=-\frac{1}{2}$ et $x=\frac{5}{2}$, ordonnée à l'origine $-5$, et points supplémentaires $(0.5, -8)$ et $(2, -5)$. Réponse finale : - Concavité : ouverte vers le haut - Axe de symétrie : $x=1$ - Sommet : $(1, -9)$ - Zéros : $x = -\frac{1}{2}$ et $x = \frac{5}{2}$ - Ordonnée à l'origine : $-5$ - Points supplémentaires : $(0.5, -8)$ et $(2, -5)$