1. **Énoncé du problème :** Déterminer les points d'intersection avec les axes, l'axe de symétrie et le sommet des paraboles suivantes, puis développer les expressions. --- 2. **a) Pour** $f(x) = -2(x - 1)(x - 7)$ : - Points d'intersection avec l'axe des abscisses (racines) : $x=1$ et $x=7$ car $f(x)=0$ quand $x=1$ ou $x=7$. - Axe de symétrie : la droite verticale passant par le milieu des racines, donc $x=\frac{1+7}{2} = 4$. - Sommet : calculons $f(4)$ pour trouver l'ordonnée du sommet. $$f(4) = -2(4-1)(4-7) = -2(3)(-3) = -2 \times (-9) = 18$$ - Développement : $$f(x) = -2(x^2 - 7x - x + 7) = -2(x^2 - 8x + 7) = -2x^2 + 16x - 14$$ --- 3. **b) Pour** $g(x) = x^2 + x - 6$ : - Trouvons les racines en factorisant : $$x^2 + x - 6 = (x + 3)(x - 2)$$ Donc racines $x = -3$ et $x = 2$. - Axe de symétrie : $x = \frac{-3 + 2}{2} = -\frac{1}{2}$. - Sommet : calculons $g(-\frac{1}{2})$ : $$g\left(-\frac{1}{2}\right) = \left(-\frac{1}{2}\right)^2 + \left(-\frac{1}{2}\right) - 6 = \frac{1}{4} - \frac{1}{2} - 6 = -\frac{25}{4} = -6.25$$ - Déjà développé, la forme est $g(x) = x^2 + x - 6$. --- 4. **c) Pour** $k(x) = -(x - 2)^2 + 9$ : - Forme canonique, sommet en $(2,9)$. - Axe de symétrie : $x=2$. - Points d'intersection avec l'axe des abscisses : résoudre $k(x)=0$ : $$-(x-2)^2 + 9 = 0 \Rightarrow (x-2)^2 = 9 \Rightarrow x-2 = \pm 3$$ Donc $x=5$ ou $x=-1$. - Développement : $$k(x) = - (x^2 - 4x + 4) + 9 = -x^2 + 4x - 4 + 9 = -x^2 + 4x + 5$$ --- 5. **d) Pour** $m(x) = \frac{x^2 - 15}{2}$ : - Intersection avec l'axe des abscisses : $m(x)=0$ donc $$\frac{x^2 - 15}{2} = 0 \Rightarrow x^2 - 15 = 0 \Rightarrow x^2 = 15 \Rightarrow x = \pm \sqrt{15}$$ - Axe de symétrie : $x=0$ (parabole centrée sur l'axe des ordonnées). - Sommet : calculons $m(0)$ : $$m(0) = \frac{0 - 15}{2} = -\frac{15}{2} = -7.5$$ - Développement déjà donné : $$m(x) = \frac{1}{2}x^2 - \frac{15}{2}$$ --- **Réponses finales :** - $f(x) = -2x^2 + 16x - 14$, racines $1$ et $7$, axe $x=4$, sommet $(4,18)$. - $g(x) = x^2 + x - 6$, racines $-3$ et $2$, axe $x=-\frac{1}{2}$, sommet $\left(-\frac{1}{2}, -\frac{25}{4}\right)$. - $k(x) = -x^2 + 4x + 5$, racines $-1$ et $5$, axe $x=2$, sommet $(2,9)$. - $m(x) = \frac{1}{2}x^2 - \frac{15}{2}$, racines $\pm \sqrt{15}$, axe $x=0$, sommet $(0,-7.5)$.