1. **Énoncé du problème :** Étudier la parité du polynôme $P(X) = X^4 + X^2 + 1$ et montrer que $P(X)$ n'a aucune racine réelle ni racine imaginaire pure. 2. **Étude de la parité :** Un polynôme $P$ est pair si $P(-X) = P(X)$ et impair si $P(-X) = -P(X)$. Calculons $P(-X)$ : $$P(-X) = (-X)^4 + (-X)^2 + 1 = X^4 + X^2 + 1 = P(X)$$ Donc, $P$ est un polynôme pair. 3. **Montrer que $P$ n'a pas de racine réelle :** Pour $x \\in \mathbb{R}$, $P(x) = x^4 + x^2 + 1$. Chaque terme est positif ou nul, donc $P(x) \geq 1 > 0$ pour tout $x$ réel. Donc, $P$ n'a pas de racine réelle. 4. **Montrer que $P$ n'a pas de racine imaginaire pure :** Supposons $x = i y$ avec $y \\in \mathbb{R}$. Alors, $$P(i y) = (i y)^4 + (i y)^2 + 1 = y^4 - y^2 + 1$$ Car $(i y)^4 = (i^4)(y^4) = 1 \cdot y^4$ et $(i y)^2 = i^2 y^2 = - y^2$. Étudions $Q(y) = y^4 - y^2 + 1$ pour $y \\in \mathbb{R}$. Posons $t = y^2 \geq 0$, alors $$Q(y) = t^2 - t + 1$$ Le discriminant de $t^2 - t + 1$ est $$\Delta = (-1)^2 - 4 \times 1 \times 1 = 1 - 4 = -3 < 0$$ Donc $Q(y) > 0$ pour tout $y$, donc $P(i y) \neq 0$. Ainsi, $P$ n'a pas de racine imaginaire pure. 5. **Conclusion :** $P$ est pair et n'a ni racine réelle ni racine imaginaire pure.