1. **Énoncé du problème :** Jonathan affirme que la pente d'une droite est positive si, et seulement si, l'ordonnée à l'origine (valeur sur l'axe des y) est plus grande que l'abscisse à l'origine (valeur sur l'axe des x). 2. **Analyse des graphiques donnés :** Pour chaque droite, on peut calculer la pente $$m$$ par la formule $$m = -\frac{\text{ordonnée à l'origine}}{\text{abscisse à l'origine}}$$ puisque la droite coupe les axes en $$y = b$$ et $$x = a$$ donc la pente est $$m = -\frac{b}{a}$$. - Graphique #1 : $$b=13$$, $$a=26$$ $$m = -\frac{13}{26} = -\frac{1}{2} < 0$$ (pente négative) $$b < a$$ (13 < 26) - Graphique #2 : $$b=12$$, $$a=-8$$ $$m = -\frac{12}{-8} = \frac{12}{8} = 1.5 > 0$$ (pente positive) $$b > a$$ (12 > -8) - Graphique #3 : $$b=9$$, $$a=-6$$ $$m = -\frac{9}{-6} = 1.5 > 0$$ (pente positive) $$b > a$$ (9 > -6) 3. **Complétons le tableau a)** | Graphique | Ordonnée à l'origine (b) | < ou > | Abscisse à l'origine (a) | Pente | Observations | |---|---|---|---|---|---| | 1 | 13 | < | 26 | négative | b < a et pente négative | | 2 | 12 | > | -8 | positive | b > a et pente positive | | 3 | 9 | > | -6 | positive | b > a et pente positive | 4. **Construction de 3 nouveaux exemples (graphique #4, #5, #6) :** - #4 : $$b=5$$, $$a=10$$ $$m = -\frac{5}{10} = -0.5 < 0$$ (pente négative), $$b < a$$ - #5 : $$b=7$$, $$a=-3$$ $$m = -\frac{7}{-3} = 2.33 > 0$$ (pente positive), $$b > a$$ - #6 : $$b=4$$, $$a=4$$ $$m = -\frac{4}{4} = -1 < 0$$ (pente négative), $$b = a$$ (égaux) 5. **Complétons le tableau b)** | Graphique | Ordonnée à l'origine (b) | < ou > | Abscisse à l'origine (a) | Pente | Observations | |---|---|---|---|---|---| | 4 | 5 | < | 10 | négative | b < a et pente négative | | 5 | 7 | > | -3 | positive | b > a et pente positive | | 6 | 4 | = | 4 | négative | b = a et pente négative | 6. **Conclusion :** La conjecture de Jonathan est **fausse** car bien que dans certains cas une pente positive corresponde à $$b > a$$, la condition $$b > a$$ n'est pas suffisante ni nécessaire pour garantir une pente positive. Par exemple, quand $$b = a$$, la pente peut être négative. La pente dépend du rapport $$-\frac{b}{a}$$ et non simplement du signe de la comparaison entre $$b$$ et $$a$$. **Réponse finale** : La conjecture est fausse.