1. **Énoncé du problème :** Éric a effectué un plongeon dont la trajectoire est une parabole. On connaît trois points de cette trajectoire : - $(2.5,0)$ et $(5,0)$ où la hauteur est nulle (points d'intersection avec l'axe horizontal), - $(3,-2.56)$ où la hauteur est minimale (le point le plus bas). On cherche la hauteur initiale du plongeon, c'est-à-dire la hauteur à la distance horizontale $x=0$. 2. **Formule utilisée :** La trajectoire est une fonction polynomiale du second degré, donc de la forme : $$h(x) = ax^2 + bx + c$$ 3. **Utilisation des points pour trouver $a$, $b$, et $c$ :** - Comme $h(2.5) = 0$, on a : $$a(2.5)^2 + b(2.5) + c = 0$$ - Comme $h(5) = 0$, on a : $$a(5)^2 + b(5) + c = 0$$ - Comme $h(3) = -2.56$, on a : $$a(3)^2 + b(3) + c = -2.56$$ 4. **Équations explicites :** $$6.25a + 2.5b + c = 0$$ $$25a + 5b + c = 0$$ $$9a + 3b + c = -2.56$$ 5. **Soustraction pour éliminer $c$ :** Soustrayons la première équation de la deuxième : $$ (25a - 6.25a) + (5b - 2.5b) + (c - c) = 0 - 0 $$ $$18.75a + 2.5b = 0$$ Soustrayons la première équation de la troisième : $$ (9a - 6.25a) + (3b - 2.5b) + (c - c) = -2.56 - 0 $$ $$2.75a + 0.5b = -2.56$$ 6. **Résolution du système à deux inconnues :** De la première équation : $$2.5b = -18.75a \Rightarrow b = \frac{-18.75a}{2.5} = -7.5a$$ Substituons dans la deuxième : $$2.75a + 0.5(-7.5a) = -2.56$$ $$2.75a - 3.75a = -2.56$$ $$-1a = -2.56$$ $$a = 2.56$$ 7. **Calcul de $b$ :** $$b = -7.5 \times 2.56 = -19.2$$ 8. **Calcul de $c$ :** Utilisons la première équation : $$6.25 \times 2.56 + 2.5 \times (-19.2) + c = 0$$ $$16 + (-48) + c = 0$$ $$c = 32$$ 9. **Hauteur initiale :** La hauteur initiale correspond à $h(0) = c = 32$ mètres. **Réponse finale :** Éric a plongé d'une hauteur de **32 mètres**.