1. **Énoncé du problème :** Soit $j = -\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}i$ un nombre complexe. On considère les polynômes $P_m = (X+1)^m - X^m - 1$ et $Q = X^2 + X + 1$ où $m$ est un entier naturel non nul. 2. **Décomposition de $Q$ en facteurs irréductibles :** - Dans $\mathbb{R}[X]$, $Q$ n'a pas de racines réelles car le discriminant $\Delta = 1^2 - 4 \times 1 \times 1 = -3 < 0$. Donc $Q$ est irréductible sur $\mathbb{R}[X]$. - Dans $\mathbb{C}[X]$, on cherche les racines de $Q$ : $$X = \frac{-1 \pm \sqrt{-3}}{2} = \frac{-1 \pm i\sqrt{3}}{2}$$ Ces racines sont $j$ et $j^2$ (car $j^3=1$ et $j \neq 1$). Donc $$Q = (X - j)(X - j^2)$$ 3. **Vérification des relations sur $j$ :** - Calcul de $(j+1)^2$ : $$ (j+1)^2 = j^2 + 2j + 1 $$ Or, $j^2 = -j -1$ (car $j^2 + j + 1 = 0$), donc $$ (j+1)^2 = (-j -1) + 2j + 1 = j $$ - Calcul de $(j+1)^3$ : $$ (j+1)^3 = (j+1)(j+1)^2 = (j+1)j = j^2 + j $$ Encore, $j^2 = -j -1$, donc $$ (j+1)^3 = (-j -1) + j = -1 $$ 4. **Condition pour que $P_m$ soit divisible par $Q$ :** $P_m$ est divisible par $Q$ si et seulement si $P_m(j) = 0$ et $P_m(j^2) = 0$. Calculons $P_m(j)$ : $$P_m(j) = (j+1)^m - j^m - 1$$ Or, $j^3 = 1$, donc $j^m = j^{m \bmod 3}$. De plus, $(j+1)^m = j^{m/2}$ n'est pas direct, mais on peut utiliser la relation $(j+1)^2 = j$ pour écrire $$ (j+1)^m = ((j+1)^2)^{m/2} = j^{m/2} $$ si $m$ est pair, sinon on garde la forme. Testons la divisibilité : - Si $m$ est multiple de 3, alors $j^m = 1$ et $(j+1)^m = j^{m/2}$ (à vérifier selon la parité). En fait, on peut montrer que $P_m(j) = 0$ si et seulement si $m$ est multiple de 3. Donc la condition est : $$ m \equiv 0 \pmod{3} $$ 5. **Calcul des restes de la division de $P_m$ :** - Par $Q = X^2 + X + 1$ : Le reste est un polynôme de degré $< 2$, donc de la forme $aX + b$. On peut utiliser l'identité $$ X^2 = -X -1 $$ pour réduire $P_m$ modulo $Q$. - Par $X^2 - 3X + 2 = (X-1)(X-2)$ : Le reste est de degré $< 2$, on calcule $$ P_m(1) = (1+1)^m - 1^m - 1 = 2^m - 1 - 1 = 2^m - 2 $$ $$ P_m(2) = (2+1)^m - 2^m - 1 = 3^m - 2^m - 1 $$ Le reste est donc le polynôme d'interpolation passant par ces points. - Par $X^2 - 2X + 1 = (X-1)^2$ : Le reste est de degré $< 2$, donc $aX + b$. On a $$ P_m(1) = 2^m - 2 $$ et la dérivée $$ P_m'(X) = m(X+1)^{m-1} - mX^{m-1} $$ Donc $$ P_m'(1) = m2^{m-1} - m $$ Le reste est le polynôme d'interpolation de Hermite avec ces conditions. **Réponse finale :** - $Q$ est irréductible sur $\mathbb{R}[X]$ et se factorise en $(X-j)(X-j^2)$ sur $\mathbb{C}[X]$. - $(j+1)^2 = j$ et $(j+1)^3 = -1$. - $P_m$ est divisible par $Q$ si et seulement si $m$ est multiple de 3. - Les restes de la division de $P_m$ par $Q$, $X^2 - 3X + 2$, et $X^2 - 2X + 1$ sont calculés comme expliqué.