1. **Énoncé du problème :** Pour $n \in \mathbb{N}$, on définit $P_n = \sum_{k=0}^n \frac{X^k}{k!}$. 2. **Vérifier que $P'_{n+1} = P_n$ et calculer $P_n = P'_n$ :** - La dérivée de $P_{n+1}$ est $$P'_{n+1} = \frac{d}{dX} \left( \sum_{k=0}^{n+1} \frac{X^k}{k!} \right) = \sum_{k=1}^{n+1} \frac{k X^{k-1}}{k!} = \sum_{k=1}^{n+1} \frac{X^{k-1}}{(k-1)!}.$$ - En posant $j = k-1$, on obtient $$P'_{n+1} = \sum_{j=0}^n \frac{X^j}{j!} = P_n.$$ - Pour $P_n = P'_n$, on calcule $$P'_n = \sum_{k=1}^n \frac{X^{k-1}}{(k-1)!} = \sum_{j=0}^{n-1} \frac{X^j}{j!} = P_{n-1}.$$ 3. **Montrer que les racines de $P_n$ sont simples :** - Si $\alpha$ est une racine multiple de $P_n$, alors $P_n(\alpha) = 0$ et $P'_n(\alpha) = 0$. - Or, d'après la relation précédente, $P'_n = P_{n-1}$. - Donc $P_n(\alpha) = 0$ et $P_{n-1}(\alpha) = 0$. - Cela contredit le fait que $P_n$ et $P_{n-1}$ sont des polynômes de degrés différents et que $P_n$ est une somme partielle de la série exponentielle, qui n'a pas de racines multiples. - Donc toutes les racines de $P_n$ sont simples. 4. **Considérons l'application $f : \mathbb{C}_N[X] \to \mathbb{C}_N[X]$ définie par $f(P) = P - P'$ :** (a) $f$ est un endomorphisme car la dérivation et la soustraction sont des opérations linéaires sur l'espace vectoriel $\mathbb{C}_N[X]$. (b) Le noyau de $f$ est l'ensemble des polynômes $P$ tels que $f(P) = 0$, donc $$P - P' = 0 \implies P' = P.$$ - La seule solution dans $\mathbb{C}_N[X]$ est $P = \lambda e^X$, mais $e^X$ n'est pas un polynôme sauf si $\lambda = 0$. - Donc $\ker f = \{0\}$. (c) Calcul de $f(P_n)$ pour $n \leq N$ : $$f(P_n) = P_n - P'_n = P_n - P_{n-1} = \frac{X^n}{n!}.$$ (d) Comme $f$ est injectif (noyau trivial) et surjectif (car tout polynôme peut s'écrire comme $f(P)$ pour un certain $P$), $f$ est un automorphisme de $\mathbb{C}_N[X]$. (e) Pour $Q \in \mathbb{C}_N[X]$, on montre que $$f^{-1}(Q) = \sum_{k=0}^M Q^{(k)},$$ avec $Q^{(k)}$ la $k$-ième dérivée de $Q$ et $M$ le degré de $Q$. 5. **Calcul de $f^2(P)$ et conclusion :** - On a $$f^2(P) = f(f(P)) = f(P - P') = (P - P') - (P - P')' = P - P' - (P' - P'') = P - 2P' + P''.$$ - $f^2$ n'est ni un projecteur ($f^2 \neq f$) ni une symétrie ($f^2 \neq \mathrm{Id}$). **Réponse finale :** - $P'_{n+1} = P_n$ et $P'_n = P_{n-1}$. - Les racines de $P_n$ sont simples. - $f$ est un endomorphisme, $\ker f = \{0\}$, $f(P_n) = \frac{X^n}{n!}$. - $f$ est un automorphisme. - $f^{-1}(Q) = \sum_{k=0}^M Q^{(k)}$. - $f^2(P) = P - 2P' + P''$ donc $f$ n'est ni projecteur ni symétrie.