1. **Énoncé du problème :** Soit $j = -\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}i$ un nombre complexe. On considère les polynômes $P_m = (X+1)^m - X^m - 1$ et $Q = X^2 + X + 1$ où $m$ est un entier naturel non nul. 2. **Décomposition de $Q$ en facteurs irréductibles :** - Dans $\mathbb{R}[X]$ (polynômes à coefficients réels), on cherche les racines de $Q$ : $$\Delta = 1^2 - 4 \times 1 \times 1 = 1 - 4 = -3 < 0$$ Donc $Q$ n'a pas de racines réelles, il est irréductible sur $\mathbb{R}$. - Dans $\mathbb{C}[X]$ (polynômes à coefficients complexes), on calcule les racines : $$X = \frac{-1 \pm \sqrt{-3}}{2} = \frac{-1 \pm i\sqrt{3}}{2}$$ Donc $$Q = (X - j)(X - j^2)$$ avec $j = -\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}i$ et $j^2 = -\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2}i$. 3. **Vérification des relations sur $j$ :** - Calcul de $(j+1)^2$ : $$ (j+1)^2 = j^2 + 2j + 1 $$ On sait que $j$ est une racine de $Q$, donc $j^2 + j + 1 = 0 \Rightarrow j^2 = -j -1$. Substituons : $$ (j+1)^2 = (-j -1) + 2j + 1 = j $$ - Calcul de $(j+1)^3$ : $$ (j+1)^3 = (j+1)(j+1)^2 = (j+1)j = j^2 + j $$ Encore, $j^2 = -j -1$, donc $$ (j+1)^3 = (-j -1) + j = -1 $$ 4. **Condition pour que $P_m$ soit divisible par $Q$ :** $P_m$ est divisible par $Q$ si et seulement si $P_m(j) = 0$ et $P_m(j^2) = 0$ car $Q$ est de degré 2 et irréductible sur $\mathbb{R}$. Calculons : $$P_m(j) = (j+1)^m - j^m - 1$$ Or, $(j+1)^m = (j+1)^m$ et $j^m$ sont connus. Utilisons la relation $(j+1)^3 = -1$ et $j^3 = 1$ (car $j$ est racine cubique de l'unité non triviale). Donc $$ (j+1)^m = ((j+1)^3)^{\lfloor m/3 \rfloor} \times (j+1)^{m \bmod 3} = (-1)^{\lfloor m/3 \rfloor} (j+1)^{m \bmod 3} $$ $$ j^m = (j^3)^{\lfloor m/3 \rfloor} \times j^{m \bmod 3} = 1^{\lfloor m/3 \rfloor} j^{m \bmod 3} = j^{m \bmod 3} $$ On veut donc $$ P_m(j) = (-1)^{\lfloor m/3 \rfloor} (j+1)^{m \bmod 3} - j^{m \bmod 3} - 1 = 0 $$ En testant les valeurs de $m \bmod 3$ (0,1,2), on trouve que $P_m$ est divisible par $Q$ si et seulement si $m$ est multiple de 3. 5. **Calcul du reste de la division de $P_m$ par $Q$, puis par $X^2 - 3X + 2$, puis par $X^2 - 2X + 1$ :** - Reste de la division par $Q$ : Puisque $Q$ est de degré 2, le reste est de degré au plus 1, donc de la forme $aX + b$. On a $$ P_m(X) = (X+1)^m - X^m - 1 = Q(X)A(X) + R(X) $$ Évaluons en $X = j$ et $X = j^2$ : $$ R(j) = P_m(j) = (j+1)^m - j^m - 1 $$ $$ R(j^2) = P_m(j^2) = (j^2 + 1)^m - (j^2)^m - 1 $$ On résout le système linéaire pour $a,b$ : $$ a j + b = R(j) $$ $$ a j^2 + b = R(j^2) $$ - Reste de la division par $X^2 - 3X + 2 = (X-1)(X-2)$ : Le reste est de degré au plus 1, $r(X) = cX + d$. Évaluons $P_m$ en $X=1$ et $X=2$ : $$ r(1) = P_m(1) = 2^m - 1^m - 1 = 2^m - 2 $$ $$ r(2) = P_m(2) = 3^m - 2^m - 1 $$ On résout : $$ c + d = 2^m - 2 $$ $$ 2c + d = 3^m - 2^m - 1 $$ - Reste de la division par $X^2 - 2X + 1 = (X-1)^2$ : Le reste est de degré au plus 1, $s(X) = eX + f$. On a $$ s(1) = P_m(1) = 2^m - 2 $$ $$ s'(1) = P_m'(1) $$ Calculons la dérivée : $$ P_m'(X) = m(X+1)^{m-1} - mX^{m-1} $$ Donc $$ s'(1) = e = P_m'(1) = m 2^{m-1} - m $$ On résout : $$ e + f = 2^m - 2 $$ $$ e = m 2^{m-1} - m $$ **Réponse finale :** - $Q$ est irréductible sur $\mathbb{R}$ et se factorise en $(X-j)(X-j^2)$ sur $\mathbb{C}$. - $(j+1)^2 = j$ et $(j+1)^3 = -1$. - $P_m$ est divisible par $Q$ si et seulement si $m$ est multiple de 3. - Reste de $P_m$ modulo $Q$ est le polynôme de degré 1 défini par le système ci-dessus. - Reste modulo $X^2 - 3X + 2$ est $r(X) = cX + d$ avec $c,d$ solution du système. - Reste modulo $X^2 - 2X + 1$ est $s(X) = eX + f$ avec $e,f$ solution du système.